B-W codimension of a right ideal non-zero of A 1 ( ℂ )

Mathias Konan Kouakou

Bulletin de la Société Mathématique de France (2005)

  • Volume: 133, Issue: 2, page 199-204
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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The B-W codimension of a right ideal non-zero I of A 1 ( ℂ ) , the first Weyl algebra on ℂ , has been introduced by Yuri Berest and George Wilson. In this paper we show that this codimension is invariant under Stafford relation: if x ∈ Q 1 = Frac ( A 1 ( ℂ ) ) the skew field of fractions of A 1 ( ℂ ) and σ ∈ Aut ( A 1 ( ℂ ) ) the group of ℂ -automorphisms of A 1 ( ℂ ) are such that J = x σ ( I ) be a right ideal of A 1 ( ℂ ) , then codim I = codim x σ ( I ) . Elsewhere we also show the link between the codimension of an ideal and the codimension of End ( I ) , defined by Gail Letzter-Makar Limanov: we show that 2 codim I = codim End ( I ) .

How to cite

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Kouakou, Mathias Konan. "Codimension B-W d’un idéal à droite non nul de $A_{1}(\mathbb {C})$." Bulletin de la Société Mathématique de France 133.2 (2005): 199-204. <http://eudml.org/doc/272379>.

@article{Kouakou2005,
abstract = {Soit $A_\{1\}(\mathbb \{C\})$ la première algèbre de Weyl sur $\mathbb \{C\}$. La codimension B-W d’un idéal à droite non nul $I$ de $A_\{1\}(\mathbb \{C\})$ a été introduite par Yuri Berest et George Wilson. Nous montrons d’une part que cette codimension est invariante par la relation de Stafford : si $x\in Q_\{1\}=\mathrm \{Frac\}(A_\{1\}(\mathbb \{C\}))$, le corps de fractions de $A_\{1\}(\mathbb \{C\})$, et si $\sigma \in \mathrm \{Aut\} (A_\{1\}(\mathbb \{C\}))$, le groupe des $ \mathbb \{C\}$-automorphismes de $A_\{1\}(\mathbb \{C\})$, sont tels que $J=x\sigma (I)$ soit un idéal à droite de $A_\{1\}(\mathbb \{C\})$, alors $\mathrm \{codim\}\, I=\mathrm \{codim\}\, x\sigma (I)$. Nous relions d’autre part la codimension d’un idéal $I$ à la codimension de Gail Letzter-Makar Limanov, de $\mathrm \{End\}(I)$, l’anneau des endomorphismes de $I$ vu comme un $A_\{1\}(\mathbb \{C\})$ sous-module à droite de $Q_\{1\}$, par la formule $2\mathrm \{codim\}\, I = \mathrm \{codim\}\, \mathrm \{End\}(I)$.},
author = {Kouakou, Mathias Konan},
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TY - JOUR
AU - Kouakou, Mathias Konan
TI - Codimension B-W d’un idéal à droite non nul de $A_{1}(\mathbb {C})$
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2005
PB - Société mathématique de France
VL - 133
IS - 2
SP - 199
EP - 204
AB - Soit $A_{1}(\mathbb {C})$ la première algèbre de Weyl sur $\mathbb {C}$. La codimension B-W d’un idéal à droite non nul $I$ de $A_{1}(\mathbb {C})$ a été introduite par Yuri Berest et George Wilson. Nous montrons d’une part que cette codimension est invariante par la relation de Stafford : si $x\in Q_{1}=\mathrm {Frac}(A_{1}(\mathbb {C}))$, le corps de fractions de $A_{1}(\mathbb {C})$, et si $\sigma \in \mathrm {Aut} (A_{1}(\mathbb {C}))$, le groupe des $ \mathbb {C}$-automorphismes de $A_{1}(\mathbb {C})$, sont tels que $J=x\sigma (I)$ soit un idéal à droite de $A_{1}(\mathbb {C})$, alors $\mathrm {codim}\, I=\mathrm {codim}\, x\sigma (I)$. Nous relions d’autre part la codimension d’un idéal $I$ à la codimension de Gail Letzter-Makar Limanov, de $\mathrm {End}(I)$, l’anneau des endomorphismes de $I$ vu comme un $A_{1}(\mathbb {C})$ sous-module à droite de $Q_{1}$, par la formule $2\mathrm {codim}\, I = \mathrm {codim}\, \mathrm {End}(I)$.
LA - fre
KW - first Weyl algebra; right ideal; automorphism; codimension
UR - http://eudml.org/doc/272379
ER -

References

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  1. [1] Y. Berest & G. Wilson – « Ideal classes of the Weyl algebra and non commutative projective geometry », 26 (2002), p. 1347–1396, with an appendix by Michel Van Den Bergh. Zbl1055.16030
  2. [2] R. Cannings & M. Holland – « Right ideals of rings of differential operators », J. Algebra167 (1994), p. 116–141. Zbl0824.16022MR1282820
  3. [3] M. Kouakou – « Isomorphisme entre algèbres d’opérateurs différentiels sur des courbes algébriques affines », Thèse, Université Claude Bernard, Lyon1, 1994. 
  4. [4] P. Perkins – « Isomorphism of rings of differential operators on curves », Bull. London. Math. Soc23 (1991), p. 133–140. Zbl0752.16011MR1122899
  5. [5] S. Smith & J. Stafford – « Differential operators on an affine curve », Proc. London Math. Soc56 (1988), p. 229–259. Zbl0672.14017MR922654
  6. [6] J. Stafford – « Endomorphism of right ideals of the Weyl algebra », Trans. Amer. Math. Soc299 (1987), p. 623–639. Zbl0615.16022MR869225

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