On the orbits of a spherical subgroup in the flag manifold

Ressayre, Nicolas. "Sur les orbites d’un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux." Bulletin de la Société Mathématique de France 132.4 (2004): 543-567. <http://eudml.org/doc/272454>.

@article{Ressayre2004,
abstract = {Soient $G$ un groupe algébrique complexe réductif et connexe, $B$ un sous-groupe de Borel de $G$ et $H$ un sous-groupe sphérique de $G$. Soit $X$ un plongement $G\times G$-équivariant de $G$. Nous savons que $B\times H$ n’a qu’un nombre fini d’orbites dans $G$ ; nous montrons qu’il n’en a qu’un nombre fini dans $X$. Soit $\overline\{V\}$ l’adhérence dans $X$ d’une orbite de $B\times H$ dans $G$ et $\overline\{\mathcal \{O\}\} $ l’adhérence d’une orbite de $G\times G$ dans $X$. Si $X$ est toroïdal, nous montrons que l’intersection $\overline\{V\}\cap \overline\{\mathcal \{O\}\} $ est propre dans $X$ et la décrivons ensemblistement. Si de plus $X$ est lisse, nous calculons les multiplicités d’intersections qui sont des puissances de $2$. Enfin, si $X$ est toroïdal, lisse et complet, nous exprimons la classe de cohomologie de $\overline\{V\}$ comme une combination linéaire des classes d’adhérence dans $X$ d’orbites de $B\times B$ dans $G$. Nous utilisons la cohomologie $B$-équivariante pour obtenir ce dernier résultat. Soit $Y$ un plongement lisse $G$-équivariant et toroïdal de $G/H$ et $\overline\{\mathcal \{O\}\} $ l’adhérence d’une orbite de $G$ dans $Y$. Soit $\overline\{V\}$ l’adhérence dans $Y$ d’une orbite de $B$ dans $G/H$. Dans [4], après la proposition6, M.Brion demande si chaque composante irréductible de $\overline\{V\}\cap \overline\{\mathcal \{O\}\} $ contient des points lisses de $\overline\{V\}$ : nous répondons négativement à cette question dans la dernière partie.},
author = {Ressayre, Nicolas},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {group embeddings; spherical variety; orbit closures; flag varieties; equivariant cohomology},
language = {fre},
number = {4},
pages = {543-567},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Sur les orbites d’un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux},
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volume = {132},
year = {2004},
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TY - JOUR
AU - Ressayre, Nicolas
TI - Sur les orbites d’un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2004
PB - Société mathématique de France
VL - 132
IS - 4
SP - 543
EP - 567
AB - Soient $G$ un groupe algébrique complexe réductif et connexe, $B$ un sous-groupe de Borel de $G$ et $H$ un sous-groupe sphérique de $G$. Soit $X$ un plongement $G\times G$-équivariant de $G$. Nous savons que $B\times H$ n’a qu’un nombre fini d’orbites dans $G$ ; nous montrons qu’il n’en a qu’un nombre fini dans $X$. Soit $\overline{V}$ l’adhérence dans $X$ d’une orbite de $B\times H$ dans $G$ et $\overline{\mathcal {O}} $ l’adhérence d’une orbite de $G\times G$ dans $X$. Si $X$ est toroïdal, nous montrons que l’intersection $\overline{V}\cap \overline{\mathcal {O}} $ est propre dans $X$ et la décrivons ensemblistement. Si de plus $X$ est lisse, nous calculons les multiplicités d’intersections qui sont des puissances de $2$. Enfin, si $X$ est toroïdal, lisse et complet, nous exprimons la classe de cohomologie de $\overline{V}$ comme une combination linéaire des classes d’adhérence dans $X$ d’orbites de $B\times B$ dans $G$. Nous utilisons la cohomologie $B$-équivariante pour obtenir ce dernier résultat. Soit $Y$ un plongement lisse $G$-équivariant et toroïdal de $G/H$ et $\overline{\mathcal {O}} $ l’adhérence d’une orbite de $G$ dans $Y$. Soit $\overline{V}$ l’adhérence dans $Y$ d’une orbite de $B$ dans $G/H$. Dans [4], après la proposition6, M.Brion demande si chaque composante irréductible de $\overline{V}\cap \overline{\mathcal {O}} $ contient des points lisses de $\overline{V}$ : nous répondons négativement à cette question dans la dernière partie.
LA - fre
KW - group embeddings; spherical variety; orbit closures; flag varieties; equivariant cohomology
UR - http://eudml.org/doc/272454
ER -