Flatness of the universal module for GL 3

Joël Bellaïche; Ania Otwinowska

Bulletin de la Société Mathématique de France (2003)

  • Volume: 131, Issue: 4, page 507-525
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Let F be a p -adic field, G = GL 3 ( F ) , and χ a character of the spherical Hecke algebra over a commutative ring k . We introduce, following Serre, a smooth representation of G over k which is central for the theory of unramified representation of G over k . We prove that M χ is flat over k for arbitrary k , and that if p is invertible in k , that M χ U is free of finite rank over k for U small compact open subgroup of G . This was conjectured by Lazarus. As a corollary, we obtain that if k is a field of characteristic different of p , M χ has the same semi-simplification that the unramified principal serie with character χ , whose structure is known thanks to Vignéras.

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Bellaïche, Joël, and Otwinowska, Ania. "Platitude du module universel pour $\mathrm {GL}_3$ en caractéristique non banale." Bulletin de la Société Mathématique de France 131.4 (2003): 507-525. <http://eudml.org/doc/272516>.

@article{Bellaïche2003,
abstract = {Soient $F$ un corps $p$-adique, $G=\mathrm \{GL\}_3(F)$. Pour $\chi $ un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique de $G$ sur un anneau commutatif $k$, on introduit à la suite de Serre une représentation lisse $M_\chi $ de $G$ sur $k$ qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de $G$ sur $k$. Nous prouvons que $M_\chi $ est plat sur $k$ et que si $p$ est inversible dans $k$, alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit $U$ de $G$, le module $M_\chi ^U$ est libre de rang fini sur $k$. Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons que si $k$ est un corps de caractéristique différente de $p$, $M_\{\chi \}$ a même semi-simplification que la série principale non ramifiée de caractère $\chi $, dont la structure est décrite par les travaux de Vignéras.},
author = {Bellaïche, Joël, Otwinowska, Ania},
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keywords = {flatness; universal module; modular representation; unramified representation; buildings},
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TY - JOUR
AU - Bellaïche, Joël
AU - Otwinowska, Ania
TI - Platitude du module universel pour $\mathrm {GL}_3$ en caractéristique non banale
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2003
PB - Société mathématique de France
VL - 131
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AB - Soient $F$ un corps $p$-adique, $G=\mathrm {GL}_3(F)$. Pour $\chi $ un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique de $G$ sur un anneau commutatif $k$, on introduit à la suite de Serre une représentation lisse $M_\chi $ de $G$ sur $k$ qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de $G$ sur $k$. Nous prouvons que $M_\chi $ est plat sur $k$ et que si $p$ est inversible dans $k$, alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit $U$ de $G$, le module $M_\chi ^U$ est libre de rang fini sur $k$. Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons que si $k$ est un corps de caractéristique différente de $p$, $M_{\chi }$ a même semi-simplification que la série principale non ramifiée de caractère $\chi $, dont la structure est décrite par les travaux de Vignéras.
LA - fre
KW - flatness; universal module; modular representation; unramified representation; buildings
UR - http://eudml.org/doc/272516
ER -

References

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