Bertini’s theorem in family

Olivier Benoist

Bulletin de la Société Mathématique de France (2011)

  • Volume: 139, Issue: 4, page 555-569
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

top
We give upper bounds for the dimension of the set of hypersurfaces of ℙ N whose intersection with a fixed integral projective variety is not integral. Our upper bounds are optimal. As an application, we construct, when possible, hypersurfaces whose intersections with all the varieties of a family of integral projective varieties are integral. The degree of the hypersurfaces we construct is explicit.

How to cite

top

Benoist, Olivier. "Le théorème de Bertini en famille." Bulletin de la Société Mathématique de France 139.4 (2011): 555-569. <http://eudml.org/doc/272746>.

@article{Benoist2011,
abstract = {On majore la dimension de l’ensemble des hypersurfaces de $\mathbb \{P\}^N$ dont l’intersection avec une variété projective intègre fixée n’est pas intègre. Les majorations obtenues sont optimales. Comme application, on construit, quand c’est possible, des hypersurfaces dont les intersections avec toutes les variétés d’une famille de variétés projectives intègres sont intègres. Le degré des hypersurfaces construites est explicite.},
author = {Benoist, Olivier},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {projective geometry; hypersurfaces; Bertini theorems},
language = {fre},
number = {4},
pages = {555-569},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Le théorème de Bertini en famille},
url = {http://eudml.org/doc/272746},
volume = {139},
year = {2011},
}

TY - JOUR
AU - Benoist, Olivier
TI - Le théorème de Bertini en famille
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2011
PB - Société mathématique de France
VL - 139
IS - 4
SP - 555
EP - 569
AB - On majore la dimension de l’ensemble des hypersurfaces de $\mathbb {P}^N$ dont l’intersection avec une variété projective intègre fixée n’est pas intègre. Les majorations obtenues sont optimales. Comme application, on construit, quand c’est possible, des hypersurfaces dont les intersections avec toutes les variétés d’une famille de variétés projectives intègres sont intègres. Le degré des hypersurfaces construites est explicite.
LA - fre
KW - projective geometry; hypersurfaces; Bertini theorems
UR - http://eudml.org/doc/272746
ER -

References

top
  1. [1] O. Debarre – « Varieties with ample cotangent bundle », Compos. Math.141 (2005), p. 1445–1459. Zbl1086.14038MR2188444
  2. [2] A. Grothendieck – « Éléments de géométrie algébrique. II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 8 (1961), p. 222. Zbl0118.36206
  3. [3] —, « Éléments de géométrie algébrique. III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents. I », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 11 (1961), p. 167. Zbl0122.16102
  4. [4] —, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. I », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 20 (1964), p. 259. Zbl0136.15901
  5. [5] —, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. II », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 24 (1965), p. 231. Zbl0135.39701
  6. [6] —, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 28 (1966), p. 255. Zbl0144.19904
  7. [7] —, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas IV », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 32 (1967), p. 361. Zbl0153.22301
  8. [8] R. Hartshorne – Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., vol. 52, Springer, 1977. Zbl0367.14001MR463157
  9. [9] J.-P. Jouanolou – Théorèmes de Bertini et applications, Progress in Math., vol. 42, Birkhäuser Boston Inc., 1983. Zbl0519.14002MR725671
  10. [10] B. Poonen – « Bertini theorems over finite fields », Ann. of Math.160 (2004), p. 1099–1127. Zbl1084.14026MR2144974

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.