Homogenization of weakly almost-periodic functionals

Andrea Braides

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti (1987)

  • Volume: 81, Issue: 1, page 29-33
  • ISSN: 0392-7881

Abstract

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Let f=f(x,z) be quasiconvex in z, almost periodic in x in the weak sense of Besicovitch and satisfy the estimate |z|^{p}\leq f(x,z)\leq\Lambda(1+|z|^{p}).
Then f can be homogenized; that is there exists a function \Psi depending only on z such that the functionals \int_{\Omega}f\left(\frac{x}{\epsilon},Du(x)\right)\,dx\qquad u\in H^{1,p}(% \Omega;\mathbb{R}^{m})
converge, as \epsilon goes to 0 (in the sense of \Gamma-convergence) to \int_{\Omega}\Psi(Du(x))\,dx.
Moreover an asymptotic formula for \Psi can be given.

How to cite

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Braides, Andrea. "Omogeneizzazione di funzionali debolmente quasi periodici." Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti 81.1 (1987): 29-33. <http://eudml.org/doc/289147>.

@article{Braides1987,
abstract = {Sia $f = f(x,z)$ quasiconvessa in $z$, quasiperiodica in $x$ nel senso di Besicovitch e soddisfi le disuguaglianze: $$|z|^\{p\} \le f(x,z) \le \Lambda (1+|z|^\{p\}).$$ Allora $f$ può essere omogeneizzata: esiste una funzione $\Psi$ che dipende solo da $z$ tale che i funzionali $$\int\_\{\Omega\} f \left( \frac\{x\}\{\epsilon\},Du(x) \right) \, dx \qquad u \in H^\{1,p\} (\Omega;\mathbb\{R\}^\{m\})$$ convergono, per $\epsilon$ tendente a $0$ (nel senso della $\Gamma$-convergenza) a $$\int\_\{\Omega\} \Psi (Du(x)) \, dx.$$ Inoltre si può dare una formula asintotica per $\Psi$.},
author = {Braides, Andrea},
journal = {Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti},
keywords = {Homogenization; Almost-periodicity; Quasiconvexity; $\Gamma $Γ-convergence},
language = {ita},
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pages = {29-33},
publisher = {Accademia Nazionale dei Lincei},
title = {Omogeneizzazione di funzionali debolmente quasi periodici},
url = {http://eudml.org/doc/289147},
volume = {81},
year = {1987},
}

TY - JOUR
AU - Braides, Andrea
TI - Omogeneizzazione di funzionali debolmente quasi periodici
JO - Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti
DA - 1987/3//
PB - Accademia Nazionale dei Lincei
VL - 81
IS - 1
SP - 29
EP - 33
AB - Sia $f = f(x,z)$ quasiconvessa in $z$, quasiperiodica in $x$ nel senso di Besicovitch e soddisfi le disuguaglianze: $$|z|^{p} \le f(x,z) \le \Lambda (1+|z|^{p}).$$ Allora $f$ può essere omogeneizzata: esiste una funzione $\Psi$ che dipende solo da $z$ tale che i funzionali $$\int_{\Omega} f \left( \frac{x}{\epsilon},Du(x) \right) \, dx \qquad u \in H^{1,p} (\Omega;\mathbb{R}^{m})$$ convergono, per $\epsilon$ tendente a $0$ (nel senso della $\Gamma$-convergenza) a $$\int_{\Omega} \Psi (Du(x)) \, dx.$$ Inoltre si può dare una formula asintotica per $\Psi$.
LA - ita
KW - Homogenization; Almost-periodicity; Quasiconvexity; $\Gamma $Γ-convergence
UR - http://eudml.org/doc/289147
ER -

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