Sistemi dinamici discreti olomorfi locali

Marco Abate

La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana (2008)

  • Volume: 1, Issue: 3, page 409-441
  • ISSN: 1972-7356

Abstract

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The difference between the theory of dynamical systems and other branches of Mathematics is not in the objects of study, but in the questions asked about them. For instance, a discrete dynamical system simply is a (measurable, continuous, differentiable, holomorphic...) self-map of a space. Studying a map f from a dynamical point of view then means studying the qualitative behavior of the iterates f k = f f f as k goes to infinity. In this paper we would like to give an idea of the kind of arguments the theory of dynamical systems deals with, concentrating our attention to a limited but important subject, the local discrete holomorphic dynamics, that is the study of the dynamical behaviour of holomorphic maps defined in a neighbourhood of a fixed point. Born toward the end of the nineteenth century, more or less in the same years the general theory of dynamical systems was born, local discrete holomorphic dynamics have seen major developments in the last thirty years, when several important results have been proved, and new significants areas have started to be explored, providing a wealth of natural open problems. We shall describe the basic themes and main results of the theory, stressing the more significant ideas, at least in the one-dimensional case.

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Abate, Marco. "Sistemi dinamici discreti olomorfi locali." La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana 1.3 (2008): 409-441. <http://eudml.org/doc/290516>.

@article{Abate2008,
abstract = {La teoria dei sistemi dinamici si distingue da altri settori della matematica non per gli oggetti che studia ma per le domande che si pone su di loro. Per esempio, un sistema dinamico discreto è semplicemente un'applicazione (misurabile, continua, differenziable, olomorfa...) di uno spazio in sé. Studiare un'applicazione $f$ dal punto di vista dinamico significa allora studiare il comportamento qualitativo delle iterate $f^\{k\} = f \circ f \circ \cdots \circ f$ al tendere di $k$ all'infinito. In questo articolo vogliamo dare un'idea del tipo di questioni che si affrontano in dinamica restringendoci a un argomento limitato ma importante, la dinamica discreta olomorfa locale, che studia il comportamento dinamico di applicazioni olomorfe definite nell'intorno di un punto fisso. Nata alla fine dell'ottocento, più o meno in contemporanea con l'intero campo dei sistemi dinamici, ha avuto un grosso sviluppo negli ultimi trent'anni, con la dimostrazione di importanti risultati e lo sviluppo di nuove significative tematiche e naturali problemi aperti. Ne presenteremo le problematiche di base e i principali risultati ottenuti, evidenziando le idee più significative, almeno nel caso unidimensionale.},
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AB - La teoria dei sistemi dinamici si distingue da altri settori della matematica non per gli oggetti che studia ma per le domande che si pone su di loro. Per esempio, un sistema dinamico discreto è semplicemente un'applicazione (misurabile, continua, differenziable, olomorfa...) di uno spazio in sé. Studiare un'applicazione $f$ dal punto di vista dinamico significa allora studiare il comportamento qualitativo delle iterate $f^{k} = f \circ f \circ \cdots \circ f$ al tendere di $k$ all'infinito. In questo articolo vogliamo dare un'idea del tipo di questioni che si affrontano in dinamica restringendoci a un argomento limitato ma importante, la dinamica discreta olomorfa locale, che studia il comportamento dinamico di applicazioni olomorfe definite nell'intorno di un punto fisso. Nata alla fine dell'ottocento, più o meno in contemporanea con l'intero campo dei sistemi dinamici, ha avuto un grosso sviluppo negli ultimi trent'anni, con la dimostrazione di importanti risultati e lo sviluppo di nuove significative tematiche e naturali problemi aperti. Ne presenteremo le problematiche di base e i principali risultati ottenuti, evidenziando le idee più significative, almeno nel caso unidimensionale.
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References

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  1. ABATE, M., An introduction to hyperbolic dynamical systems. I.E.P.I.Pisa, 2001. 
  2. ABATE, M., Discrete local holomorphic dynamics. In Proceedings of 13th. Seminar on Analysis and Its Applications, Isfahan 2003. Eds. S. Azam et al., University of Isfahan, Iran, 2005, 1-32. Zbl1072.37036MR2114495
  3. BEDFORD, E. - SMILLIE, J., Polynomial diffeomorphisms of 2 . VI. Connectivity of J. Ann. of Math., 148 (1998), 695-735. Zbl0916.58022MR1668567DOI10.2307/121006
  4. BISWAS, K., Smooth combs inside hedgehogs. Disc. Cont. Dyn. Sys., 12 (2005), 853-880. Zbl1073.37056MR2128730DOI10.3934/dcds.2005.12.853
  5. BISWAS, K., Hedgehogs of Hausdorff dimension one, Preprint, 2003. Zbl1168.37013MR2465597DOI10.1017/S0143385707000879
  6. BÖTTCHER, L.E., The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis. Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch., 14 (1904), 155-234. 
  7. BRYUNO, A.D., Convergence of transformations of differential equations to normal forms. Dokl. Akad. Nauk. USSR, 165 (1965), 987-989. MR192098
  8. BRYUNO, A.D., Analytical form of differential equations, I. Trans. Moscow Math. Soc., 25 (1971), 131-288. Zbl0272.34018
  9. BRYUNO, A.D., Analytical form of differential equations, II. Trans. Moscow Math. Soc., 26 (1972), 199-239. Zbl0269.34006
  10. BUFF, X. - CHÉRITAT, A., The Brjuno function continuously estimates the size of quadratic Siegel disks. Ann. of Math., 164 (2006), 265-312. Zbl1109.37040MR2233849DOI10.4007/annals.2006.164.265
  11. CAMACHO, C., On the local structure of conformal mappings and holomorphic vector fields. Astérisque, 59-60 (1978), 83-94. 
  12. CREMER, H., Zum Zentrumproblem. Math. Ann., 98 (1927), 151-163. MR1512397DOI10.1007/BF01451586
  13. CREMER, H., Über die Häufigkeit der Nichtzentren. Math. Ann., 115 (1938), 573-580. Zbl0018.36802MR1513203DOI10.1007/BF01448957
  14. ÉCALLE, J., Les fonctions résurgentes. Tome I: Les algèbres de fonctions résurgentes. Publ. Math. Orsay, 81-05, Université de Paris-Sud, Orsay, 1981. Zbl0499.30034MR670417
  15. ÉCALLE, J., Les fonctions résurgentes. Tome II: Les fonctions résurgentes appliquées à l'itération. Publ. Math. Orsay81-06, Université de Paris-Sud, Orsay, 1981. Zbl0499.30035MR670418
  16. FATOU, P., Sur les équations fonctionnelles, I. Bull. Soc. Math. France, 47 (1919), 161-271. Zbl47.0921.02MR1504787
  17. FATOU, P., Sur les équations fonctionnelles, II. Bull. Soc. Math. France, 48 (1920, 33-94. MR1504792
  18. FATOU, P., Sur les équations fonctionnelles, III. Bull. Soc. Math. France, 48 (1920), 208-314. MR1504797
  19. HASSELBLATT, B. - KATOK, A., Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995. Zbl0878.58020MR1326374DOI10.1017/CBO9780511809187
  20. HERMAN, M., Recent results and some open questions on Siegel's linearization theorem of germs of complex analytic diffeomorphisms of n near a fixed point. Proc. 8th Int. Cong. Math. Phys., World Scientific, Singapore, 1986, pp. 138-198. MR915567
  21. HUBBARD, J.H. - PAPADOPOL, P., Superattractive fixed points in n . Indiana Univ. Math. J., 43 (1994), 321-365. Zbl0858.32023MR1275463DOI10.1512/iumj.1994.43.43014
  22. IL'YASHENKO, YU.S., Nonlinear Stokes phenomena. In Nonlinear Stokes phenomena. Adv. in Soviet Math., 14, Am. Math. Soc., Providence, 1993, 1-55. MR1206041
  23. KIMURA, T., On the iteration of analytic functions. Funk. Eqvacioj, 14 (1971), 197-238. Zbl0237.30008MR302876
  24. KŒNIGS, G., Recherches sur les integrals de certain equations fonctionelles. Ann. Sci. Éc. Norm. Sup.1 (1884), 1-41. 
  25. LEAU, L., Étude sur les equations fonctionelles à une ou plusieurs variables. Ann. Fac. Sci. Toulouse, 11 (1897), E1-E110. MR1508188
  26. MALGRANGE, B., Travaux d'Écalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques. Astérisque, 92-93 (1981/82), 59-73. MR689526
  27. MALGRANGE, B., Introduction aux travaux de J. Écalle. Ens. Math., 31 (1985), 261-282. MR819354
  28. MARMI, S., An introduction to small divisors problems. I.E.P.I., Pisa, 2000. 
  29. MILNOR, J., Dynamics in one complex variable. Third edition. Annals of Mathematics Studies, 160. Princeton University Press, Princeton, 2006. Zbl1085.30002MR2193309
  30. PÉREZ-MARCO, R., Sur les dynamiques holomorphes non linéarisables et une conjecture de V.I. Arnold. Ann. Sci. École Norm. Sup., 26 (1993), 565-644. Zbl0812.58051MR1241470
  31. PÉREZ-MARCO, R., Topology of Julia sets and hedgehogs. Preprint, Université de Paris-Sud, 1994, 94-48. 
  32. PÉREZ-MARCO, R., Non-linearizable holomorphic dynamics having an uncountable number of symmetries. Invent. Math., 199 (1995), 67-127. Zbl0862.58045MR1309972DOI10.1007/BF01245175
  33. PÉREZ-MARCO, R., Hedgehogs dynamics. Preprint, 1995. 
  34. PÉREZ-MARCO, R., Sur une question de Dulac et Fatou. C.R. Acad. Sci. Paris, 321 (1995), 1045-1048. MR1360570
  35. PÉREZ-MARCO, R., Fixed points and circle maps. Acta Math., 179 (1997), 243-294. Zbl0914.58027MR1607557DOI10.1007/BF02392745
  36. PÉREZ-MARCO, R., Total convergence or general divergence in small divisors. Comm. Math. Phys., 223 (2001), 451-464. Zbl1161.37331MR1866162DOI10.1007/s002200100457
  37. SHCHERBAKOV, A.A., Topological classification of germs of conformal mappings with identity linear part. Moscow Univ. Math. Bull., 37 (1982), 60-65. Zbl0508.30015MR778885
  38. SIEGEL, C.L., Iteration of analytic functions. Ann. of Math., 43 (1942), 607- 612. Zbl0061.14904MR7044DOI10.2307/1968952
  39. VORONIN, S.M., Analytic classification of germs of conformal maps ( ; 0 ) ( ; 0 ) with identity linear part. Func. Anal. Appl., 15 (1981), 1-17. MR609790
  40. YOCCOZ, J.-C., Linéarisation des germes de difféomorphismes holomorphes de ( ; 0 ) . C.R. Acad. Sci. Paris, 306 (1988), 55-58. MR929279
  41. YOCCOZ, J.-C., Théorème de Siegel, nombres de Bryuno et polynômes quadratiques. Astérisque, 231 (1995), 3-88. MR1367353

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