Equivalenze tra teoremi: il programma di ricerca della reverse mathematics

Alberto Marcone

La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana (2009)

  • Volume: 2, Issue: 1, page 101-126
  • ISSN: 1972-7356

Abstract

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Mathematical Logic can give a precise meaning to statements of the form «Theorem A is stronger than Theorem B». In the last few decades logicians have proved many results about the axiomatic strength of theorems from different areas of mathematics. These results form a research project known as reverse mathematics. In this paper we discuss the antecedents of reverse mathematics, describe the current research in the area, and elucidate the import of reverse mathematics upon the foundations of mathematics.

How to cite

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Marcone, Alberto. "Equivalenze tra teoremi: il programma di ricerca della reverse mathematics." La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana 2.1 (2009): 101-126. <http://eudml.org/doc/290610>.

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abstract = {La logica matematica ha sviluppato strumenti in grado di rendere precise affermazioni del tipo «il teorema A è più forte del teorema B». In particolare sono stati ottenuti un consistente numero di risultati che stabiliscono la forza assiomatica di molti teoremi in diversi settori della matematica. I risultati in questione hanno dato origine ad un programma di ricerca noto con il nome di reverse mathematics. Nel presente articolo evidenziamo gli «antenati» della reverse mathematics, descriviamo lo stato attuale della ricerca, e illustriamo il significato della reverse mathematics per i fondamenti della matematica.},
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TY - JOUR
AU - Marcone, Alberto
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JO - La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana
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References

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  1. AHARONI, RON - MAGIDOR, MENACHEM - SHORE, RICHARD A., On the strength of König's duality theorem for infinite bipartite graphs, J. Combin. Theory Ser. B, 54, n. 2 (1992), 257-290. Zbl0754.05053MR1152453DOI10.1016/0095-8956(92)90057-5
  2. AVIGAD, JEREMY, Number theory and elementary arithmetic, Philos. Math. (3), 11 (2003), 257-284. Zbl1050.03005MR2006194DOI10.1093/philmat/11.3.257
  3. BROWN, DOUGLAS K., Notions of compactness in weak subsystems of second order arithmetic, In Simpson [23], 47-66. Zbl1087.03039MR2185427
  4. CIESIELSKI, KRZYSZTOF, Set theory for the working mathematician, Cambridge University Press (1997), xii+236. Zbl0938.03067MR1475462DOI10.1017/CBO9781139173131
  5. ERDŎS, P. - KOMJÁTH, P., Countable decompositions of ℝ 2 and ℝ 3 , Discrete Comput. Geom., 5, n. 4 (1990), 325-331. MR1043714DOI10.1007/BF02187793
  6. FRIEDMAN, HARVEY, Necessary uses of abstract set theory in finite mathematics, Adv. in Math., 60, n. 1 (1986), 92-122. Zbl0613.03028MR839484DOI10.1016/0001-8708(86)90004-6
  7. FRIEDMAN, HARVEY, Finite functions and the necessary use of large cardinals, Ann. of Math. (2), 148, n. 3 (1998), 803-893. Zbl0941.03050MR1670057DOI10.2307/121032
  8. FRIEDMAN, HARVEY - SIMPSON, STEPHEN G., Issues and problems in reverse mathematics, In Computability theory and its applications (Boulder, CO 1999), Amer. Math. Soc. (2000), 127-144. Zbl0967.03050MR1770738DOI10.1090/conm/257/04031
  9. HILBERT, DAVID - BERNAYS, PAUL, Grundlagen der Mathematik. I, Springer-Verlag, Berlin (1968), xv+473. MR237246
  10. HILBERT, DAVID - BERNAYS, PAUL, Grundlagen der Mathematik. II, Springer-Verlag, Berlin (1970), xiv+561. MR272596
  11. HOWARD, PAUL - RUBIN, JEAN E., Consequences of the axiom of choice, American Mathematical Society, Providence RI (1998), viii+432. Zbl0947.03001MR1637107DOI10.1090/surv/059
  12. HUMPHREYS, A. JAMES, Did Cantor need set theory?, In Simpson [23], 244-270. Zbl1097.03052MR2185439
  13. KANAMORI, AKIHIRO, The higher infinite, Springer-Verlag, Berlin (1994), xxiv+536. Zbl0813.03034MR1321144
  14. COLE KLEENE, STEPHEN, Introduction to metamathematics, D. Van Nostrand Co. Inc., NewYork, N.Y. (1952), x+550. MR51790
  15. LÉVY, AZRIEL, Basic set theory, Springer-Verlag, Berlin (1979), xiv+391. MR533962
  16. MILLMAN, RICHARD S. - PARKER, GEORGE D., Geometry, Springer-Verlag, New York (1991), xiv+370. MR1083550DOI10.1007/978-1-4612-4436-3
  17. MUMMERT, CARL - SIMPSON, STEPHEN G., Reverse mathematics and Π 2 1 comprehension, Bull. Symbolic Logic, 11, n. 4 (2005), 526-533. Zbl1106.03050MR2198712
  18. RUBIN, HERMAN - RUBIN, JEAN E., Equivalents of the axiom of choice. II, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland Publishing Co., 116 (1985), xxviii+322. Zbl0582.03033MR798475
  19. SIMPSON, STEPHEN G., Which set existence axioms are needed to prove the Cauchy/Peano theorem for ordinary differential equations?J. Symbolic Logic, 49, n. 3 (1984), 783-802. Zbl0584.03039MR758929DOI10.2307/2274131
  20. SIMPSON, STEPHEN G., Partial realizations of Hilbert's Program, J. Symbolic Logic, 53, n. 2 (1988), 349-363. Zbl0654.03003MR947843DOI10.2307/2274508
  21. SIMPSON, STEPHEN G., On the strength of König's duality theorem for countable bipartite graphs, J. Symbolic Logic, 59, n. 1 (1994), 113-123. Zbl0798.03060MR1264968DOI10.2307/2275254
  22. SIMPSON, STEPHEN G., Subsystems of second order arithmetic, Springer-Verlag, Berlin (1999), xiv+445. Zbl0909.03048MR1723993DOI10.1007/978-3-642-59971-2
  23. STEPHEN G. SIMPSON editor, Reverse mathematics 2001. Lecture Notes in Logic. Association for Symbolic Logic, La Jolla, Ca, 2005. MR2186912
  24. TAIT, WILLIAM W., Finitism, J. Philos., 78 (1981), 524-546. 
  25. WEYL, HERMANN, Das Kontinuum: Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis, Veit, Leipzig (1918). 

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