Il teorema di Liouville ovvero perchè “non esiste” la primitiva di e x 2

Camillo De Lellis

La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana (2014)

  • Volume: 7, Issue: 1, page 55-97
  • ISSN: 1972-7356

Abstract

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It is well known that the primitive of the real function x ↦ e x 2 cannot be expressed in terms of “elementary functions”. This theorem was first proved by Liouville in the nineteenth century. Nonetheless it seems that very few mathematicians know how it is proved. In this manuscript I explain the proof, following a modern version of Liouville’s ideas and based on the works of Rosenlicht and Ostrowski. The most important points are explained in a quite elementary way, but on the other hand the interested reader will find also a complete and quite detailed account of all the aspects, including the most technical ones. This note is indeed the written acount of a lecture given in the Liceo Cantonale di Bellinzona, as part of the conference “L’eredità di Evariste Galois, matematico e rivoluzionario. Convegno sulla teoria di Galois e le sue applicazioni”, organized by the Commissione di Matematica della Svizzera Italiana. It has already appeared in “Il Volterriano”, a journai published by the mathematics teachers from the Liceo di Mendrisio, who have kindly allowed me to publish it also here in a slightly modified form.

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De Lellis, Camillo. "Il teorema di Liouville ovvero perchè “non esiste” la primitiva di $e^{x^2}$." La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana 7.1 (2014): 55-97. <http://eudml.org/doc/290723>.

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abstract = {La primitiva della funzione $x \mapsto e^\{x^2\}$ non è esprimibile in termini elementari: si tratta di un fatto ben noto, dimostrato per la prima volta da Liouville nel diciannovesimo secolo. Ciononostante la dimostrazione è poco conosciuta. In questa nota mi propongo di dame un resoconto completo, ponendo l’accento sulle idee più importanti, ma includendo anche una trattazione il più elementare possibile di tutti i dettagli tecnici. Questo lavoro è l’elaborazione di una conferenza tenuta dall’autore il 29 settembre 2012 presso il Liceo cantonale di Bellinzona, nell’ambito del convegno “L’eredità di Evariste Galois, matematico erivoluzionario. Convegno sulla Teoria di Galois e le sue applicazioni”, organizzato dalla Commissione di Matematica della Svizzera Italiana. La nota è già apparsa nel periodico “Il Volterriano”, una pubblicazione curata da alcuni professori di matematica del Liceo di Mendrisio, che ne ha gentilmente concesso la riproduzione su questa rivista.},
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