Sur l'équation de M. Pierre Humbert

 Access to full text

 Full (PDF)

1. 1. OUVRAGES : Les ouvrages que nous avons consultés relativement à l'équation de Laplace et aux polynômes de Legendre, Gegenbauer, Hermite, sont les suivants : I. P. Appell ET J. KAMPÉ DE FERIET. — Fonctions hypergéométriques et hypersphériques, Polynômes d'Hermite (Paris, 1926). 
2. 2. H. Bateman. — Differential equations (Londres, 1918). Zbl46.0696.01JFM46.0696.01
3. 3. H. Bateman. — The mathematical analysis of « Electrical and Optical Wavemotion » on the basis of Maxwell's equations (Cambridge, 1915). Zbl45.1324.05JFM45.1324.05
4. 4. E.T. Whittaker AND G.N. Watson. — A Course of Modern Analysis (Cambridge, 1927). JFM53.0180.04
5. II. NOTES ET MÉMOIRES : Ainsi que nous l'avons indiqué dans l'introduction, nous voulons donner ici un aperçu de l'état de la question dont nous avons traité une partie dans ce Mémoire, celle relative à l'équation de M. P. Humbert, réservant pour des travaux ultérieurs la publication d'autres résultats amorcés dans plusieurs de nos Notes. Dans les lignes qui suivent nous utiliserons les notations suivantes : Les nombres entre crochets renverront aux numéros de la bibliographie et les nombres entre parenthèses aux paragraphes du texte. Nous utiliserons les abréviations suivantes : A. C. I. M. ... Actes du Congrès International des Mathématiciens de... A. P. A. S. ... Atti della Pontificae Accademia delle Scienze i Nuovi Lincei. A. S. S. B. ... Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. B. S. M. F. ... Bulletin de la Société Mathématique de France. B. S. S. L. ... Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège. C. R......... Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris. M........... Mathematica (Cluj). P. E. M. S. ... Proceedings of the Edinburgh. Mathematical Society. 
6. I. P. Appell. - Propositions d'algèbre el de géométrie déduites de la considération des racines cubiques de l'unité (C. R., 84, 1877, p. 540). Introduction des fonctions P, Q, R, et des trièdres équifaciaux à arêtes également inclinées sur la direction x = y = z (2, 45, 54). JFM09.0325.01
7. 2. -- Sur certaines fonctions analogues aux fonctions circulaires (C. R., 84, 1877, p. 1378). Systèmes différentiels définissant les fonctions circulaires et les fonctions P, Q, R. Généralisation à l'ordre n [I9, 23]. JFM09.0326.01
8. 3. Bevan Baker. — On the relation between Pincherle's Polynomial and the Hypergeometric Function (P. E. M. S., 1, 39, 1920, p. 58). Formation de l'intégrale générale (I43) du n° 73 (cf. aussi [3I]). 
9. 4. N. Botea. — Sur une généralisation d'un théorème de Lord Kelvin (M., 6, 1932, p. 132-139). Étude des équations ΔB,nU = o, énoncé de quelques théorèmes relatifs à des intégrales. Étude des équations et de leurs associées. Zbl0005.15902JFM58.0485.01
10. 5. — Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., I95, 1932, p. 992). Rappel de résultats de [4]. Extension à Δ3,B de nos résultats [II, 22]. JFM58.0485.02
11. 6. — Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., I96, 1933, p. 35). Suite de [5]. Introductions des mineurs de ΔB, n, notions de fonctions conjuguées [7]. Zbl0006.01703JFM59.0473.01
12. 7. P. Delens et J. Devisme. — Sur certaines formes différentielles et les métriques associées (C. R., I96, 1933, p. 517-521). Étude d'un espace de Finsler et de la forme angulaire de Landsberg, introduction d'autres formes différentielles, application à notre ds3 (67, 68). Remarques sur [6]. Zbl0006.22303JFM59.0686.01
13. 8. O. Devisme (Mlle) et J. Devisme. — Sur une propriété des cosinus d'ordre supérieur (A. C. I. M., Zurich, 1932, II, p. 67). Généralisation des polynômes (I-2h cos 6 + h2) (I-3hP(θ, φ) + 3h2P(-θ, -φ)- h3); expression des coefficients en fonction de la seule fonction cosinus d'ordre n [2, I9]. JFM58.0383.04
14. 9. J. Devisme. — Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., I93, 1931, p. 825-828). Étude des équations ΔrU = o et de leurs intégrales ne dépendant que du produit pr = u1 ... ur. Généralisation de la formule de Green et d'un résultat de M. Ghemanesco (C. R , I93, 1931, p. 477). Zbl0003.11402JFM57.0580.05
15. I0. - Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., I93, 1931, p. 516-519). Équations du prépotentiel pour les équations Δ,U = o et les surfaces ai = o , Π ai = I. Cas particulier de l'équation Δ3 U = o (98, I03). 
16. II. - Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., I93, 1931, p. 1153-1156) Recherches sur les transformations conservant Δ3 U et ds3 à un facteur près. Généralisation d'un théorème de M. D. V. Jonesco [44]. Comparaison avec certains résultats d'Appell [2] (I0, 25, 26, 27, 62). Zbl57.0581.01
17. I2. - Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., I94, 1932, p. 516-519). Introduction des équations Δ3,n U = o qui généralisent l'équation de Laplace à plusieurs dimensions et comprennent le cas de Δ3 U = o. Énoncés de théorèmes [25, 26]. JFM58.0516.01
18. I3. — Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., I94. 1932, p. 1550-1552). Introduction du système (Σ). Fonctions conjuguées au sens de M. N. Cioranesco et au sens de Ch. Riquier. Remarque sur l'équation de M. M. Ghemanesco [27] (28, 56, 36, 37). JFM58.0516.02
19. I4. — Sur certaines familles de polynômes (C. R., I95, 1932, p. 437-439). Extension des polynômes de Legendre, Gegenbauer, Hermite. Quelques propriétés nouvelles des équations Δr U = o, Δ3,n U = o (cf. [26]) (69, 72, 77). Zbl0005.10603JFM58.0378.01
20. I5. — Sur quelques applications des fonctions hypergéométriques (C. R., I95, 1932, p. 936-938). Nouvelles fonctions génératrices. Remarques sur les équations kΔ3 U = ∂U/∂t, kΔ3 U = ∂2U/∂t2. Extension d'un résultat de M. Angelesco et introduction de polynômes hypergéométriques à deux variables définis à partir de la fonction F1 (8I, 83, 9I). Zbl0005.36003JFM58.0378.02
21. I6. - Sur un espace quasi-euclidien à trois dimensions attaché à l'équation de M. P. Humbert (C. R., I95, 1932, p. 1059-1061). Introduction de notre notion d'angle. Orthogonalité au sens d'Appell. Interprétation géométrique de l'équation Δ3 U = o (47, 49, 50, 5I, 52, 56, 59). Zbl0006.01801JFM58.1147.03
22. I7. — Sur un théorème de M. D. Jonesco (B. S. M. F., 59, 1931, communication du 24 juin I93I, p. 32-35). Remarques sur le Mémoire [44] (9). 
23. I8. — Sur une équation se rattachant à l'équation de M. P. Humbert (B. S. M. F., 60, 1932, com. du 27 avril I932, p. 23-25). Introduction de notre équation (225) du n° 98. JFM58.1146.03
24. I9. — Sur les cosinus d'Appell (B. S. M. F., 61, 1933, com. du 8 mars I933). Sur les systèmes différentiels déduits de ceux d'Appell [2] par des permutations convenables des inconnues. Développement de P(hθ, kφ) en fonction de hkθφ, h3θ3 + k3φ3. 
25. 20. — Sur la fonction génératrice de lafonction P(mθ, nφ) d'Appell (Bull. de l'Acad. Roy. de Belgique, classe des Sciences, 5, 18, 1932, p. 505-506). Formation de l'identité (II6) du n° 70. Zbl0005.16202JFM58.0377.03
26. 2I. — Sur certaines questions relatives à l'opérateur de M. P. Humbert (B. S. S. L., I, 1932, p. 173-176). Équations aux dérivées partielles satisfaites par l'intégrale U = ∫ ∫a=o μΦ(p1)dσ pour les cas suivants Φ = pmI, pmI log p1, pmI log2 p1, 0F2(I, mp1), [p1] X 2F2(I, I; 2, 2; p1). Extension au cas où le plan a = o est quelconque. 
27. 22. - Sur certains résultats de M. M. N. Botea et M. Ghermanesco (B. S. S. L., I, 1932, p. 242-246). Confrontation des résultats des notes [5, II, 29, 30] et énoncés de quelques résultats nouveaux (II). Zbl0006.01704
28. 23. — Sur les équations aux dérivées partielles de MM. P. Humbert et H. Ghermanesco (M. à paraître ). Comparaison des équations mentionnées, introduction de fonctions analogues à celle d'Appell [I9] et énoncé de quelques théorèmes [cf. 27, 36]. 
29. 24. — Sur quelques propriétés d'équations aux dérivées partielles du type Δ3 U = c(u1...ur)U (Soc. Franç. pour l'avanc. des Sc. Actes Congrès de Bruxelles. 1932, p. 35-36). Formations d'intégrales dans le cas c = αr/ρr, c = cte [26], (95). 
30. 25. — Quelques remarques relatives à une classe d'équations aux dérivées partielles du troisième ordre (A. C. I. M., Zurich, 1932, p. 76). Formation des équations du prépotentiel pour les opérateurs Δ3,n [I2]. Zbl58.0489.11JFM58.0489.11
31. 26. — Sur certains opérateurs décomposables en produits de Laplaciens et de dérivées partielles (1) (A. P. A. S., 86, 1932, p. 95-108). Formation d'équations différentielles vérifiées par les intégrales ne dépendant que des polynômes associés. Études de certaines intégrales. JFM59.1092.02
32. 27. M. Guemanesco. — Sur une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre (B. S. M. F., 59, 1931, com. du 25 novembre I93I, p. 39-42). JFM58.0516.04
33. 28. — Sur une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre (Beletinul Facultàtii de Stiinte din Cernàuti, 6, 1932, p. 28-35). Ce Mémoire est le développement de [27] et d'une communication faite à la Soc. Roum. des Sc. le I6 nov. I93I. L'auteur considère une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre généralisant l'équation de Laplace. Il étend à cette équation certains résultats de M. P. Humbert [36] et nous-même [II]. Zbl0007.01302JFM59.1132.01
34. 29. - Sur une généralisation de l'équation de Laplace (B. S. S. L., I, 1932, p. 134-137). Extension de nos résultats [II] aux équations déduites de Δr U = o par une transformation linéaire dont les coefficients dépendent de α(αn = I). Zbl0004.39603JFM58.1147.01
35. 30. — Sur l'équation de Laplace (Atti dell. R. Accad. Naz. dei Lincei, 6, 15, 1932, p. 932-935). Même étude dans le cas αn = —I. Zbl0005.20604JFM58.0513.01
36. 3I. P. Humbert. — Some extensions of Pincherle's polynomials (P. E. M. S., I, 39, 1920, p. 21). Étude des polynômes Cνn(x, o) (73). Expression au moyen des fonctions elliptiques. 
37. 32. - Sur les séries hypergéométriques (A. S. S. B., 43, 1923, p. 75). L'auteur donne entre autres l'expression de C-I/36m (x, o) au moyen des fonctions hyper géométriques. 
38. 33. - Remarques sur les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur (Comptes rendus du Congrès des Sociétés savantes Sciences, 1925, p. 81-85). L'auteur y donne l'expression des cosinus de Villarceau au moyen des fonctions hypergéométriques. JFM51.0283.02
39. 34. - Remarques bibliographiques sur les sinus d'ordre supérieur (A. P. A. S., 82, 1929, p. 308-312). (1) Un résumé de ce Mémoire a été diffusé par Radio-Vatican le 29 déc. I932 et a paru dans le Scientarum nuncius Radiophonicus publié par l'Académie Pontificale, n° I7. JFM55.0217.03
40. 35. — Sur une équation aux dérivées partielles du troisième ordre (A. C. I. M., Bologne, 1928, t. III, p. 55). JFM56.0416.03
41. 36. — Sur une généralisation de l'équation de Laplace (1) (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 8, 1929, p. 145-159). Ce Mémoire développe la Note précédente. On y trouve la définition de l'équation Δ3 U = o et certaines de ses propriétés, une étude de diverses catégories de polynômes, et un théorème sur l'équation Δ3 U = I/c3 ∂3 U/∂t3 (23, 93). JFM55.0280.03
42. 37. — Les fonctions de Bessel du troisième ordre (A. P. A. S., 83, 1930, p. 128-146). Introduction de nouvelles fonctions qui se rattachent à la série hypergéométrique triconfluente. Application à l'étude de Δ3 U + U = o (86). JFM56.1000.03
43. 38. — Sur le potentiel correspondant à une attraction proportionnel à ρeρ2/2 (M., I, 1929, p. 117-121). JFM55.0289.05
44. 39. — Sur une généralisation de l'équation de la. chaleur (A. S. S. B., 49, 1929, p. 113-116). Étude de l'équation Δ3 U = ∂U/∂t et introduction de certains polynômes (79, 89). JFM55.0895.02
45. 40. — Sur l'équation Δp3U = o : (A. S. S. B., 51, 1931, p. 91-93). Étude de certains polynômes attachés à cette équation. 
46. 4I. — On Appel's Fanction P(θ, φ) : (P. E. M. S., 2, 3, 1932, p. 53-55). Étude de la fonction génératrice de P(nθ, nφ). Formules d'addition (70). 
47. 42. — Sur une généralisation du potentiel (C. R., I94, 1932, p. 1549-1550). Extension d'un résultat précédent [38]. Utilisation de l'intégrale ∫∫0F1[I, p1/9]dσ. JFM58.0517.02
48. 43. — Sur les potentiels du troisième ordre : (A. S. S. B., 52, 1931, p. 293-305). Étude de l'équation xΔ3 U = 3nDxU. Extension de l'équation de Gegenbauer. Étude de l'intégrale citée plus haut [2I] dans les cas Φ = ep1 et 0F2 [K + I, I ; p1]. Extension et développement de certains résultats antérieurs [38, 42] (98, I00, I05). 
49. 44. D.V. Jonesco. — Sur une équation aux dérivées partielles du troisième ordre (B. S. M. F., 58, 1930, p. 224-229). Extension du théorème de Lord Kelvin à l'équation Δ3 U = o et démonstration de certaines identités [I7] (9, 62). JFM56.0417.01
50. 45. Pincherle. — Una nuova extensione delle funzione spheriche (Mem. Ist. Bologna, 5, I, 1889, p. 337) (7I). JFM23.0514.01
51. 46. - Un systema d'integrali ellitici considerati come funzioni dell' invariante assoluto : (Rendiconti Lincei, 4, 7, 1871, p. 74) (76). JFM23.0461.01
52. 47. J. Touchard. — Sur les sinus intégraux du troisième ordre (A. S. S. B., 52, 1932, p. 279-287). Étude des fonctions F1(x), F2(x), F3 (x), définies par l'équation lie-jx = F1(x) + jF2(x) + j2 F3(x), (1) C'est ce Mémoire qui a été l'origine des recherches de MM. Botea, Ghermanesco, Jonesco et de moi-mème, JFM58.1102.04
53. 48. P. Delens. — La métrique angulaire des espaces de Finsler et la géométrie différentielle projective (Collection des actualités scientifiques et industrielles, n° 80, Hermann, Paris, 1933). Développement de la note [7] et d'une seconde : Sur certains problèmes relatifs aux espaces de Finsler (C. R., t. I96, 1933, p. 1356-1358). Zbl0008.41901JFM60.0650.01
54. 49. J. Devisme. — Sur deux questions relatives à l'équation de M. P. Humbert (C. R., t. I96, 1933, p. 1203-1204). Introduction de la notion d'aire. Sur une interprétation du problème de Dirichlet, d'après M. A. Liénard [5I]. Zbl0007.01601JFM59.1131.02
55. 50. — Sur certains polynômes (Société Française pour l'avancement des Sciences. Actes du Congrès de Chambéry, I933, 57e session). Introduction des polynômes Pn,m,p = [uvw—I]n+m+p. 
56. 5I. A. Liénard. — Formule de Green pour les potentiels du 3e ordre de M. P. Humbert (Soc. Math. de France, LXI, 1933. Communication du 22 mars I933). JFM60.1139.01