Une généralisation du problème de Cauchy

Hille, Einar. "Une généralisation du problème de Cauchy." Annales de l'institut Fourier 4 (1952): 31-48. <http://eudml.org/doc/73711>.

@article{Hille1952,
abstract = {L’objet de la note est l’étude d’un problème de Cauchy pour l’équation fonctionnelle : $y^\{(n)\}(t)=U^n[y(t)]$, $t&lt; 0$, avec $y^\{(k)\}(t)\rightarrow y_k$, $k=0,1,\ldots ,n-1$, quand $l\rightarrow 0$. On suppose que la solution et les données $\lbrace y_k\rbrace $ sont des éléments d’un espace $(B)$, $U$ est un opérateur linéaire de domaine $D[U]\subset X$, les dérivées et les limites sont prises au sens fort. Une solution est du type normal si $t^\{-1\}\{\rm log\}\Vert y^\{(n-1)\}(t)\Vert $ reste borné quant $t\rightarrow \infty $. On montre que le problème admet au plus une solution du type normal pour n’importe quelles données dans $X$, si $U$ est clos et ses valeurs propres ne sont pas denses dans aucun demi-plan droit.Si $n=1$, si $U$ est clos et si le problème admet une solution du type normal restreint, $y(t,y_0)$, pour chaque $y_0\in D[U]$, alors $U$ engendre un semi-groupe $T(t)$, fortement continu, et $y(t,y_0)=T(t)[y_0]$. Si $n=2$ et si $U$ et $-U$ engendrent des semi-groupes fortement continus à $t=0$, ceux-ci forment un groupe, la solution du problème de Cauchy existe pour $y_0\in D[U^2]$, $y_1\in D[U]\cap R[U]$ et s’exprime en moyen de $T(t)$ et $T(-t)$. Si $n&gt;2$, le problème général ne semble pas être résoluble et il faut le remplacer par un problème réduit avec un nombre $m&lt; n$ des conditions initiales. Si $U$ engendre un semi-groupe $T(t)$ analytique dans un secteur, $\theta _1&lt; \, \{\rm arg\}\, t&lt; \theta _2$, et continu sur la frontière, on peut prendre $m$ égale au nombre de racines d’unité d’ordre $n$ dans le secteur fermé et on exprime la solution du problème réduit en moyen des valeurs de $T(t)$ sur les rayons contenant les racines d’unité.},
author = {Hille, Einar},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {functional analysis},
language = {fre},
pages = {31-48},
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title = {Une généralisation du problème de Cauchy},
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volume = {4},
year = {1952},
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TY - JOUR
AU - Hille, Einar
TI - Une généralisation du problème de Cauchy
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1952
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 4
SP - 31
EP - 48
AB - L’objet de la note est l’étude d’un problème de Cauchy pour l’équation fonctionnelle : $y^{(n)}(t)=U^n[y(t)]$, $t&lt; 0$, avec $y^{(k)}(t)\rightarrow y_k$, $k=0,1,\ldots ,n-1$, quand $l\rightarrow 0$. On suppose que la solution et les données $\lbrace y_k\rbrace $ sont des éléments d’un espace $(B)$, $U$ est un opérateur linéaire de domaine $D[U]\subset X$, les dérivées et les limites sont prises au sens fort. Une solution est du type normal si $t^{-1}{\rm log}\Vert y^{(n-1)}(t)\Vert $ reste borné quant $t\rightarrow \infty $. On montre que le problème admet au plus une solution du type normal pour n’importe quelles données dans $X$, si $U$ est clos et ses valeurs propres ne sont pas denses dans aucun demi-plan droit.Si $n=1$, si $U$ est clos et si le problème admet une solution du type normal restreint, $y(t,y_0)$, pour chaque $y_0\in D[U]$, alors $U$ engendre un semi-groupe $T(t)$, fortement continu, et $y(t,y_0)=T(t)[y_0]$. Si $n=2$ et si $U$ et $-U$ engendrent des semi-groupes fortement continus à $t=0$, ceux-ci forment un groupe, la solution du problème de Cauchy existe pour $y_0\in D[U^2]$, $y_1\in D[U]\cap R[U]$ et s’exprime en moyen de $T(t)$ et $T(-t)$. Si $n&gt;2$, le problème général ne semble pas être résoluble et il faut le remplacer par un problème réduit avec un nombre $m&lt; n$ des conditions initiales. Si $U$ engendre un semi-groupe $T(t)$ analytique dans un secteur, $\theta _1&lt; \, {\rm arg}\, t&lt; \theta _2$, et continu sur la frontière, on peut prendre $m$ égale au nombre de racines d’unité d’ordre $n$ dans le secteur fermé et on exprime la solution du problème réduit en moyen des valeurs de $T(t)$ sur les rayons contenant les racines d’unité.
LA - fre
KW - functional analysis
UR - http://eudml.org/doc/73711
ER -