Deux remarques sur les séries et les polynômes de Dirichlet

Christian Deutsch

Annales de l'institut Fourier (1974)

  • Volume: 24, Issue: 3, page 165-169
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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This note contains two results :- First, an upper bound for the abscissa of absolute convergence of the Dirichlet series expansion of 1 / f ( s ) where f ( s ) is the sum of a given Dirichlet series.- Secondly, we prove that any non-constant Dirichlet polynomial 1 + ∑ 2 ≤ k ≤ N a k λ k - s (where λ > 1 and a k is an integer for all k = 2 , ... , N ) has a zero in any half-plane Real s > - ϵ where ϵ > 0 .Both of these theorems are consequences of a result which we prove by using classical therorems on analytic almost periodic functions.

How to cite

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Deutsch, Christian. "Deux remarques sur les séries et les polynômes de Dirichlet." Annales de l'institut Fourier 24.3 (1974): 165-169. <http://eudml.org/doc/74183>.

@article{Deutsch1974,
abstract = {Cette note contient deux résultats :- d’une part, une majoration de l’abscisse d’absolue convergence du développement en série de Dirichlet de l’inverse de la somme d’une série de Dirichlet donnée.- d’autre part, le fait que tout polynôme de Dirichlet non constant\begin\{\}1+\sum \_\{2\le k\le N\}a\_k\lambda ^\{-s\}\_k~\text\{où\} \text\{les\}~ a\_k~ \text\{sont\} \text\{des\} \text\{entiers\} \text\{relatifs\}\end\{\}et les $\lambda _k$ sont des nombres réels $&gt;1$ s’annule dans tout demi-plan Réel $s&gt;-\varepsilon $ où $\varepsilon &gt;0$.L’un et l’autre de ces résultats sont conséquences d’une proposition que l’on démontre en utilisant des théorèmes classiques de la théorie des fonctions p.p. analytiques.},
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TY - JOUR
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AB - Cette note contient deux résultats :- d’une part, une majoration de l’abscisse d’absolue convergence du développement en série de Dirichlet de l’inverse de la somme d’une série de Dirichlet donnée.- d’autre part, le fait que tout polynôme de Dirichlet non constant\begin{}1+\sum _{2\le k\le N}a_k\lambda ^{-s}_k~\text{où} \text{les}~ a_k~ \text{sont} \text{des} \text{entiers} \text{relatifs}\end{}et les $\lambda _k$ sont des nombres réels $&gt;1$ s’annule dans tout demi-plan Réel $s&gt;-\varepsilon $ où $\varepsilon &gt;0$.L’un et l’autre de ces résultats sont conséquences d’une proposition que l’on démontre en utilisant des théorèmes classiques de la théorie des fonctions p.p. analytiques.
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ER -

References

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  1. [1]A.S. BESICOVITCH, Almost periodic functions (Dover Publications, inc). Chapter III, Analytic Almost Periodic Functions. 
  2. [2]C. CORDUNEANU, Almost periodic functions (Interscience Publisher). Chapter III, Analytic Periodic Functions. 
  3. [3]E. HEWITT, J.H. WILLIAMSON, Note on absolutely convergent Dirichlet series, Proc. Am. Math. Society, (1957) N° 8. Zbl0081.06804MR19,851b

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