Conditions de Bohr-Sommerfeld pour les singularités focus-focus et monodromie quantique

San Vũ Ngọc

Journées équations aux dérivées partielles (1998)

  • page 1-13
  • ISSN: 0752-0360

Abstract

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Je présenterai les résultats d’une étude microlocale détaillée du spectre joint de deux opérateurs h-pseudo-différentiels qui commutent sur une variété de dimension deux en présence d’une singularité dite «focus-focus». L’étude couvre par exemple le cas du pendule sphérique étudié par Duistermaat, ou du fond de la bouteille de champagne, mais les phénomènes observés sont universels. On en observe principalement deux: une accumulation de valeurs propres au voisinage de la singularité en O ( l o g ( h ) ) par rapport au cas régulier, des phénomènes globaux autour de la singularité liés à la monodromie du système. L’étude s’inspire des travaux de Y. Colin de Verdière et B. Parisse et s’appuie sur l’écriture de conditions du type Bohr-Sommerfeld adaptées à la singularité. Les résultats seront illustrés en utilisant des calculs numériques de valeurs propres effectués par M.S. Child dans le cas de la bouteille de champagne.

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Vũ Ngọc, San. "Conditions de Bohr-Sommerfeld pour les singularités focus-focus et monodromie quantique." Journées équations aux dérivées partielles (1998): 1-13. <http://eudml.org/doc/93356>.

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References

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  1. [1] A.-M. Charbonnel. Comportement semi-classique du spectre conjoint d'opérateurs pseudo-différentiels qui commutent. Asymptotic Analysis, 1:227-261, 1988. Zbl0665.35080MR89j:35100
  2. [2] M.S. Child. Quantum states in a Champagne bottle. J. Phys. A., 31:657-670, 1998. Zbl0956.81018MR99b:81052
  3. [3] Y. Colin de Verdière. Spectre conjoint d'opérateurs pseudo-différentiels qui commutent II. Mathematische Zeitschrift, 171:51-73, 1980. Zbl0478.35073MR81i:58046
  4. [4] Y. Colin de Verdière and B. Parisse. Équilibre instable en régime semi-classique I : Concentration microlocale. Communications in partial differential equations, 19(9-10):1535-1563, 1994. Zbl0819.35116MR96b:58112
  5. [5] Y. Colin de Verdière and B. Parisse. Équilibre instable en régime semi-classique II : Conditions de Bohr-Sommerfeld. Annales de l'Institut Henri Poincaré, Physique Théorique, 61(3):347-367, 1994. Zbl0845.35076MR97a:81041
  6. [6] R. Cushman and J.J. Duistermaat. The quantum spherical pendulum. Bulletin of the AMS (new series), 19:475-479, 1988. Zbl0658.58039MR89j:58029
  7. [7] J.J. Duistermaat. On global action-angle variables. Communications on Pure and Applied Mathematics, 33:687-706, 1980. Zbl0439.58014MR82d:58029
  8. [8] J.J. Duistermaat and L. Hörmander. Fourier integral operators II. Acta mathematica, 128:183-269, 1972. Zbl0232.47055MR52 #9300
  9. [9] I.M. Gelfand, M.I. Graev, and N.Ja. Vilenkin. Les Distributions, volume 5. Dunod, 1962. Zbl0115.10102
  10. [10] B. Helffer and J. Sjöstrand. Multiple wells in the semi-classical limit. I. Communications in Partial Differential Equations, 9:337-408, 1984. Zbl0546.35053
  11. [11] B. Helffer and J. Sjöstrand. Semi-classical analysis for Harper's equation III Cantor structure of the spectrum. Mémoires de la Société Mathématique de France, 39, 1998. Zbl0725.34099
  12. [12] B. Simon. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues I. Ann. Inst. H. Poincaré. Phys. Théor., 38(3):295-307, 1983. a correction in 40:224. Zbl0526.35027MR85m:81040a
  13. [13] J. Sjöstrand. Semi-excited states in nondegenerate potential wells. Asymptotic Analysis, 6:29-43, 1992. Zbl0782.35050MR93m:35052
  14. [14] S. Vũ Ngoc. Formes normales semi-classiques des systèmes complètement intégrables au voisinage d'un point critique de l'application moment. preprint Institut Fourier 377, 1997. 
  15. [15] S. Vũ Ngoc. Quantum monodromy in integrable systems. preprint Utrecht University 1055, 1998. Zbl0981.35015
  16. [16] S. Vũ Ngoc. Bohr-Sommerfeld conditions for integrable systems with critical manifolds of focus-focus type. preprint. Zbl1027.81012
  17. [17] Maorong Zou. Monodromy in two degrees of freedom integrable systems. Journal of Geometry and Physics, 10:37-45, 1992. Zbl0776.58017MR94f:58049

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