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Se $A(x)$, $B(x)$ e $GF[q,x]$ sono due polinomi monici, diciamo che $B(x)$ è un divisore unitario di $A(x)$ per esprimere che risulta $(B(x),A(x)/B(x))=1$; e che $A(x)$ è unitariamente perfetto su $GF(q)$ se la somma ${\sigma }^{\star }*(A(x))$ dei divisori unitari distinti di $A(x)$ uguaglia $A(x)$. In questa Nota vengono caratterizzati i polinomi unitariamente perfetti su $GF(p)$ che sono riducibili in $GF[p,x]$; ed assegnati quei 17 fra essi relativi al caso $p=2$ che sono della forma $x^{n}f(x)$ con $n\ge 0$, $(x,f(x))=1$ e grado $f(x)\le 15$; qualche altro risultato è anche ottenuto per $p=3.5$.

Dopo avere ottenuto vari casi per $q=p^d$ in cui su $GF(q)$ esistono infiniti polinomi irriducibili che sono unitari e perfetti, si studia il numero di tali polinomi in altri casi e si fa per esso una congettura.

I principali risultati di questa nota stabiliscono che tutti i numeri primi $p=4^t+1>13$ e $p=8t+1$ con $t$ dispari sono quadrato-separabili. Da precedenti risultati segue che per ciascuno di tali $p$ e per ogni numero dispari $d>1$, esistono infinite classi distinte di polinomi unitari perfetti non spezzati su $GF(p^d)$. Sono allegati i risultati numerici degli studi sui primi quadrato-separabili col calcolatore.

È stata avanzata la congettura che esista un'infinità di classi distinte di $p^d$ equivalenza di polinomi perfetti unitari irriducibili su GF ($p^d$) per ogni primo $p$ e ogni intero dispari $d>1$. La congettura è dimostrata vera nei casi i) , ii) $2\in GF(p)$ non è un quadrato, iii) $2\in GF(p)$ è un quadrato e tutti gli intervalli interi positivi determinati da potenze distinte dispari di ${\theta }^t$ contiene un quadrato, ove $G{F}^{*}(p)=⟨\theta ⟩$. Inoltre, si è determinato che iii) è soddisfatto da 314 primi $p>97$.

Un polinomio monico $A(x)\in GF[q,x)$ dicesi perfetto su GF (q) se, e soltanto se, $A(x)$ uguaglia la somma $\sigma (A(x))$ dei divisori monici distinti di $A(x)$ in $GF[q,x]$. Si caratterizzano i polinomi perfetti su $GF(q)$ che sono riducibili in $GF[p,x]$, e si formulano congetture analoghe a quelle classiche sui numeri perfetti dispari.