Advanced Search

Si scrive un'equazione, dandone una soluzione particolare, a derivate parziali del secondo ordine, in n variabili indipendenti, che si riduce all'equazione Thomas-Fermi, per n = 1.

Otteniamo l'equazione differenziale non-lineare del 2° ordine che è soddisfatta dalla funzione $y={\left[\pm bm{u}^j{v}^n\right]}^{k/m}$, $m=j+n$. Le funzioni $u$ e $v$ sono soluzioni della equazione lineare $y^{\prime \prime }+r(x)y^{\prime }+q(x)y=0$; la $b$ è una costante qualunque; gli esponenti sono reali e non zero. Mostriamo come si possa ottenere, dalla nostra, la equazione di Thomas-Fermi e altre equazioni simili.

Si scrive l'equazione differenziale non-lineare del 2° ordine soddisfatta dalla funzione omogenea $y={[\pm m(a{u}^{\beta }{v}^{\gamma }+b{u}^j{v}^n)]}^{k/m}$. Le funzioni $u$ e $v$ sono soluzioni dell'equazione lineare $y^{\prime \prime }+r(x)y^{\prime }+q(x)y=0$; $a$ e $b$ sono costanti arbitrarie; e gli esponenti sono reali e non nulli. Come casi particolari delle equazioni ottenute in tal modo, si ha un'equazione modificata di Thomas-Fermi $y^{\prime \prime }=(1+c_1{x}^{\alpha }+c_2{x}^{2\alpha })x^{-1/2}{y}^{3/2}$, ed un'equazione modificata di Emden: $y^{\prime \prime }=(1+C_1{x}^{\alpha }+C_2{x}^{2\alpha })x^{1-M}{y}^M$. Le costanti $c_1$, $c_2$ e $C_1$, $C_2$ sono date esplicitamente.