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Soit $U_1$ un ouvert dans ${\mathbf{C}}^m$. Soit ${\pi }_1:\mathbf{S}\to U_1$ une famille holomorphe de structures complexes sur une surface de Riemann non-compacte $M$, avec ${\mathbf{S}}_{t_0}={\pi }_1^{-1}(t_0)=M$. ($\mathbf{S}=\mathbf{S}(M\times U_1)$ est une structure complexe sur le produit différentiable $M\times U_1$). Soit $M_1$ un domaine relativement compact dans $M$. On démontre : pour tout voisinage de Stein $U$ de $t_0$, assez petit, la famille ${\pi }_1:\mathbf{S}(M_1\times U)\to U$ est isomorphe à la famille $\pi :\Omega \to \pi \left(\Omega \right)$, où $\Omega$ est un de la variété produit $M\times {\mathbf{C}}^m$, $\pi$ étant la projection $M\times {\mathbf{C}}^m\to {\mathbf{C}}^m$. On donne aussi un résultat analogue pour le cas des variations différentiables.

On donne dans cet article une nouvelle approche pour déterminer le type et construire la fonction de Green d’une surface de Riemann ouverte. Soit $\Omega$ une surface de Riemann ouverte et $\stackrel{i}{{\mathbf{D}}^{\text{'}}}$ $(i=0,1,2)$ l’espace des courants de degré $i$. ${\mathbf{H}}_0$ désignera l’espace pré-hilbertien des fonctions $C^{\infty }$ à supports compacts muni du produit scalaire de Dirichlet. D’abord on dit qu’une surface de Riemann ouverte est de type hyperbolique si l’injection ${\mathbf{H}}_0\to \stackrel{0}{{\mathbf{D}}^{\text{'}}}$ est continue. Dans ce cas on démontre que le complété...