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There exists a universal control sequence ${p̅\left(m\right)}_{m=1}^{\infty }$ of increasing positive integers such that: Every infinite-dimensional separable Banach space X has a biorthogonal system xₙ,xₙ* with ||xₙ|| = 1 and ||xₙ*|| < K for each n such that, for each x ∈ X, $x={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_{\pi \left(n\right)}*\left(x\right)x_{\pi \left(n\right)}$ where π(n) is a permutation of n which depends on x but is uniformly controlled by ${p̅\left(m\right)}_{m=1}^{\infty }$, that is, $n_{n=1}^m\subseteq \pi {\left(n\right)}_{n=1}^{p̅\left(m\right)}\subseteq n_{n=1}^{p̅(m+1)}$ for each m.

Every separable, infinite-dimensional Banach space X has a biorthogonal sequence $z_n,z{*}_n$, with $spanz{*}_n$ norming on X and $\parallel z_n\parallel +\parallel z{*}_n\parallel$ bounded, so that, for every x in X and x* in X*, there exists a permutation π(n) of n so that $x\in \overline{conv}finitesubseriesof{\sum }_{n=1}^{\infty }z{*}_n\left(x\right)z_{n}andx{*}_n\left(x\right)={\sum }_{n=1}^{\infty }z{*}_{\pi \left(n\right)}\left(x\right)x*\left(z_{\pi \left(n\right)}\right)$.

Siano $Y$ e $Z$ due sottospazi quasi complementari di uno spazio di Banach separabile $B$. È noto (Vinokurov) che $B$ ha una $M$-base unione di una $M$-base di $Y$ e di una $M$-base di $Z$; inoltre è noto (Milman) che, se $\{y_n\}$ è una $M$-base di $Y$, esiste una successione $\{z_n\}$ di $Z$ tale che $\{y_n\}\cup \{z_n\}$ sia una $M$-base di $B$. Recentemente Ovsepian-Pelczynski, dando una risposta affermativa ad un problema da lungo tempo irrisolto, hanno dimostrato che $B$ ha sempre una $M$-base uniformemente minimale. Tale risultato pone allora la questione...

Ogni spazio di Banach ha un sistema bibasico $(x_n,f_n)$ normalizzato; inoltre ogni successione $(x_n)$ uniformemente minimale appartiene ad un sistema biortogonale limitato $(x_n,f_n)$, dove $(f_n)$ è M-basica e normante.

Ogni spazio di Banach ha un sistema bibasico $(x_n,f_n)$ normalizzato; inoltre ogni successione $(x_n)$ uniformemente minimale appartiene ad un sistema biortogonale limitato $(x_n,f_n)$, dove $(f_n)$ è M-basica e normante.