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Discrepancy estimates for some linear generalized monomials

Roswitha Hofer, Olivier Ramaré (2016)

Acta Arithmetica

We consider sequences modulo one that are generated using a generalized polynomial over the real numbers. Such polynomials may also involve the integer part operation [·] additionally to addition and multiplication. A well studied example is the (nα) sequence defined by the monomial αx. Their most basic sister, ( [ n α ] β ) n ≥ 0 , is less investigated. So far only the uniform distribution modulo one of these sequences is resolved. Completely new, however, are the discrepancy results proved in this paper. We show...

Exponents of Diophantine Approximation and Sturmian Continued Fractions

Yann Bugeaud, Michel Laurent (2005)

Annales de l’institut Fourier

Let ξ be a real number and let n be a positive integer. We define four exponents of Diophantine approximation, which complement the exponents w n ( ξ ) and w n * ( ξ ) defined by Mahler and Koksma. We calculate their six values when n = 2 and ξ is a real number whose continued fraction expansion coincides with some Sturmian sequence of positive integers, up to the initial terms. In particular, we obtain the exact exponent of approximation to such a continued fraction ξ by quadratic surds.

Groupes de Rhin-Viola et intégrales multiples

Stéphane Fischler (2003)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Ce texte donne une nouvelle présentation, et une généralisation, des groupes qui apparaissent dans les travaux de Rhin-Viola ([8], [9]) sur les mesures d’irrationalité de ζ (2) et ζ (3). D’une part, on interprète ces groupes comme des groupes d’automorphismes, ce qui permet de déduire chacune des relations entre intégrales utilisées par Rhin-Viola d’un changement de variables. D’autre part, on considère plusieurs familles d’intégrales n -uples, et on montre que chacune d’elles est munie d’une action...

Irrationalité de valeurs de zêta

Stéphane Fischler (2002/2003)

Séminaire Bourbaki

Les valeurs aux entiers pairs (strictement positifs) de la fonction ζ de Riemann sont transcendantes, car ce sont des multiples rationnels de puissances de π . En revanche, on sait très peu de choses sur la nature arithmétique des ζ ( 2 k + 1 ) , pour k ≥ 1 entier. Apéry a démontré en 1978 que ζ ( 3 ) est irrationnel. Rivoal a prouvé en 2000 qu’une infinité de ζ ( 2 k + 1 ) sont irrationnels, mais sans pouvoir en exhiber aucun autre que ζ ( 3 ) . Il existe plusieurs points de vue sur la preuve d’Apéry ; celui des séries hypergéométriques...

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