Formes normales d’une métrique mixte analytique réelle générique

Tomasz Miernowski[1]

  • [1] Institut de mathématiques de Luminy (UMR 6206), Université de la Méditerranée, Luminy, Case 907, F-13288 Marseille Cedex 9, France.

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2007)

  • Volume: 16, Issue: 4, page 923-946
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

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We will call a mixed metric any metric defined in a plane domain which changes its character – it is Remannian in one region and Lorentzian in the other. We investigate the existence of a normal form for our metric locally in a neighbourhood of a point belonging to the common boundary of these two regions. It is an analogue of the problem of existence of isothermal coordinates in the classical setting. We show that generically we have the unique conformal model d u 2 + v d v 2 . There are, however, some special points where the space of conformal models is of infinite dimension.

How to cite

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Miernowski, Tomasz. "Formes normales d’une métrique mixte analytique réelle générique." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 16.4 (2007): 923-946. <http://eudml.org/doc/10074>.

@article{Miernowski2007,
abstract = {Par une métrique mixte on comprend une métrique définie dans un domaine du plan, changeant de caractère – sur une région elle est riemannienne, sur une autre lorentzienne. On se place dans un point appartenant à la frontière entre ces deux régions et on cherche une forme locale « la plus simple » de notre métrique – un problème analogue à l’existance des coordonnées isothermes dans le cas classique, riemannien ou lorentzien. On montre que génériquement on peut se ramener à un seul modèle conforme $du^\{2\}+vdv^\{2\}$. Il existe tout de même des points spécifiques où l’espace des modèles conformes est de dimension infinie.},
affiliation = {Institut de mathématiques de Luminy (UMR 6206), Université de la Méditerranée, Luminy, Case 907, F-13288 Marseille Cedex 9, France.},
author = {Miernowski, Tomasz},
journal = {Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques},
keywords = {Riemannian metric; Lorentzian metric; mixed metric; isothermal coordinates},
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number = {4},
pages = {923-946},
publisher = {Université Paul Sabatier, Toulouse},
title = {Formes normales d’une métrique mixte analytique réelle générique},
url = {http://eudml.org/doc/10074},
volume = {16},
year = {2007},
}

TY - JOUR
AU - Miernowski, Tomasz
TI - Formes normales d’une métrique mixte analytique réelle générique
JO - Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques
PY - 2007
PB - Université Paul Sabatier, Toulouse
VL - 16
IS - 4
SP - 923
EP - 946
AB - Par une métrique mixte on comprend une métrique définie dans un domaine du plan, changeant de caractère – sur une région elle est riemannienne, sur une autre lorentzienne. On se place dans un point appartenant à la frontière entre ces deux régions et on cherche une forme locale « la plus simple » de notre métrique – un problème analogue à l’existance des coordonnées isothermes dans le cas classique, riemannien ou lorentzien. On montre que génériquement on peut se ramener à un seul modèle conforme $du^{2}+vdv^{2}$. Il existe tout de même des points spécifiques où l’espace des modèles conformes est de dimension infinie.
LA - fre
KW - Riemannian metric; Lorentzian metric; mixed metric; isothermal coordinates
UR - http://eudml.org/doc/10074
ER -

References

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  1. Ahlfors (L.), Bers (L.).— Riemann’s mapping theorem for variable metrics. Ann. of Math. (2), 72, p. 385-404 (1960). Zbl0104.29902
  2. Arnol’d (V.), Bers (L.).— Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires. « Mir », Moscow, 1984. Translated from the Russian by Djilali Embarek, Reprint of the 1980 edition. Zbl0956.34502
  3. Chern (S. S.), Hartman (P.), Wintner (A.).— On isothermic coordinates. Comment. Math. Helv., 28, p. 301-309 (1954). Zbl0056.40206MR66718
  4. Dara (L.).— Singularités génériques des équations différentielles multiformes. Bol. Soc. Brasil. Mat., 6(2) p. 95-128 (1975). Zbl0405.34045MR488153
  5. Davydov (A. A.).— The normal form of a differential equation, that is not solved with respect to the derivative, in the neighborhood of its singular point. Funktsional. Anal. i Prilozhen, 19(2) p. 1-10, 96 (1985). Zbl0582.34056MR800916
  6. Gauss (C. F.).— Werke. Band IV. Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973. Reprint of the 1873 original. Zbl0924.01032MR616132
  7. Kergosien (Y. L.), Thom (R.).— Sur les points paraboliques des surfaces. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 290(15) p. A705-A710 (1980). Zbl0435.58005MR574308
  8. Korn (A.), Thom (R.).— Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen. Schwarz Abhandlungen, p. 215-229. 
  9. Lichtenstein (L.).— Zur Theorie der konformen Abbildung. Konforme Abbildung nichtanalytisher, singularitätenfreier Klächenstücke auf ebene Gebiete. Zbl46.0547.01
  10. Thom (R.).— Sur les équations différentielles multiformes et leurs intégrales singulières. Bol. Soc. Brasil. Mat., 3(1) p. 1-11 (1972). Zbl0396.34018MR343311
  11. Uribe-Vargas (R.).— New Projective invariant associated to the special parabolic points of surfaces and to swallowtails. Prepint of Banach Center, Warsaw. 
  12. Uribe-Vargas (R.).— Surface evolution, implicit differentiel equations end pairs of legendrian fibrations. 2005. Preprint. 
  13. Wintner (A.).— On the local role of the theory of the logarithmic potential in differential geometry. Amer. J. Math., 75, p. 679-690 (1953). Zbl0051.38303MR61436

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