# Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta

• [1] Université de Caen, Département de Mathématiques et Mécanique, Laboratoire N.Oresme, Campus II, Boulevard du Maréchal Juin, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France
• Volume: 17, Issue: 1, page 23-36
• ISSN: 0240-2963

top

## Abstract

top
For $q\in ℂ$, $|q|<1$, one extends the Riemann Zeta function in the following way: ${\zeta }_{q}\left(k\right)=\sum _{n\ge 1}{\sigma }_{k-1}\left(n\right){q}^{n}=\sum _{n\ge 1}\frac{{n}^{k-1}{q}^{n}}{1-{q}^{n}}$.In the paper [8], W. Zudilin has formulated two questions about these functions. The first one is about the linear independence over $ℂ\left(q\right)$ of the functions ${\zeta }_{q}\left(k\right)$, $k\ge 1$, and the second one about the algebraic independence over $ℂ\left(q\right)$ of ${\zeta }_{q}\left(2\right),{\zeta }_{q}\left(4\right),{\zeta }_{q}\left(6\right)$, and ${\zeta }_{q}\left(2k+1\right)$, $k\ge 0$.In the paper [5], Y. Pupyrev has positively answered the first question, and has given partial results for the second.In this paper, we consider the function $L\left(x,y\right)=\sum _{n\ge 1}\frac{{y}^{n}{x}^{n}}{1-{x}^{n}}$, and, with $\tau =y\frac{d}{dy}$, the functions ${\tau }^{j}\left(L\right)\left(x,y\right)=\sum _{n\ge 1}{n}^{j}\frac{{y}^{n}{x}^{n}}{1-{x}^{n}}$. For complex values ${a}_{k},k=1,...,s$, satisfying some technical conditions, we show linear and algebraic independence results for the functions ${\tau }^{j}\left(L\right)\left(x,{a}_{k}\right)$.

## How to cite

top

Bézivin, Jean-Paul. "Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 17.1 (2008): 23-36. <http://eudml.org/doc/10079>.

@article{Bézivin2008,
abstract = {Pour $q\in \mathbb\{C\}$, $|q|&lt;1$, on définit la $q$-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités $\displaystyle \zeta _q(k)=\sum _\{n\ge 1\}\sigma _\{k-1\}(n)q^n=\sum _\{n\ge 1\}\frac\{n^\{k-1\}q^n\}\{1-q^n\}$.Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de $q$. La première concerne l’indépendance linéaire sur $\mathbb\{C\}(q)$ des fonctions $\zeta _q(k)$, pour $k\ge 1$, et la seconde l’indépendance algébrique sur $\mathbb\{C\}(q)$ des fonctions $\zeta _q(2),\zeta _q(4), \zeta _q(6)$, et des fonctions $\zeta _q(2k+1)$, $k\ge 0$. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde.Dans cet article, nous considérons la fonction $\displaystyle L(x,y)=\sum _\{n\ge 1\}\frac\{y^nx^n\}\{1-x^n\}$, et, avec $\displaystyle \tau =y\frac\{d\}\{dy\}$, les fonctions $\displaystyle \tau ^\{j\}(L)(x,y)=\sum _\{n\ge 1\}n^j\frac\{y^nx^n\}\{1-x^n\}$. Pour des valeurs $a_k, k=1,...,s$, soumises à quelques conditions techniques, nous démontrons des résultats d’indépendance linéaire et algébrique pour les fonctions $\displaystyle \tau ^\{j\}(L)(x,a_k)$.},
affiliation = {Université de Caen, Département de Mathématiques et Mécanique, Laboratoire N.Oresme, Campus II, Boulevard du Maréchal Juin, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France},
author = {Bézivin, Jean-Paul},
journal = {Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques},
language = {fre},
month = {6},
number = {1},
pages = {23-36},
publisher = {Université Paul Sabatier, Toulouse},
title = {Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta},
url = {http://eudml.org/doc/10079},
volume = {17},
year = {2008},
}

TY - JOUR
AU - Bézivin, Jean-Paul
TI - Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta
JO - Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques
DA - 2008/6//
PB - Université Paul Sabatier, Toulouse
VL - 17
IS - 1
SP - 23
EP - 36
AB - Pour $q\in \mathbb{C}$, $|q|&lt;1$, on définit la $q$-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités $\displaystyle \zeta _q(k)=\sum _{n\ge 1}\sigma _{k-1}(n)q^n=\sum _{n\ge 1}\frac{n^{k-1}q^n}{1-q^n}$.Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de $q$. La première concerne l’indépendance linéaire sur $\mathbb{C}(q)$ des fonctions $\zeta _q(k)$, pour $k\ge 1$, et la seconde l’indépendance algébrique sur $\mathbb{C}(q)$ des fonctions $\zeta _q(2),\zeta _q(4), \zeta _q(6)$, et des fonctions $\zeta _q(2k+1)$, $k\ge 0$. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde.Dans cet article, nous considérons la fonction $\displaystyle L(x,y)=\sum _{n\ge 1}\frac{y^nx^n}{1-x^n}$, et, avec $\displaystyle \tau =y\frac{d}{dy}$, les fonctions $\displaystyle \tau ^{j}(L)(x,y)=\sum _{n\ge 1}n^j\frac{y^nx^n}{1-x^n}$. Pour des valeurs $a_k, k=1,...,s$, soumises à quelques conditions techniques, nous démontrons des résultats d’indépendance linéaire et algébrique pour les fonctions $\displaystyle \tau ^{j}(L)(x,a_k)$.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/10079
ER -

## References

top
1. Bundschuh (P.) and Väänänen (K.).— Linear independence of $q$-analogues of certain classical constants, Results Math. 47, p. 33-44 (2005). Zbl1128.11035MR2129575
2. Bundschuh (P.) and Zhou (P.).— Arithmetical results on certain multivariate power series. Bull London Math Soc, 38, n 2, p. 192-200 (2006). Zbl1095.11039MR2214471
3. Hoang Ngo Minh, Petitot (M.).— Lyndon words, polylogarithm and Riemann’s zeta-function. Discrete Math, 217, no 1-3, p. 273-292 (2000). Zbl0959.68144
4. Knopp (K.).— Uber Lambertsche Reihen. J. für die reine angewandte Math, 142, 4, p. 283-315 (1913). Zbl44.0290.04
5. Pupyrev (Y.).— Linear and algebraic independence of $q$-zeta values. Mathematical notes, 78, no. 4, p. 563-568 (2005). Zbl1160.11338MR2226733
6. Shidlovskii (A.B.).— Transcendence and algebraic independence values of some $E$-functions. Moscow Univ Math Bull, 5, p. 44-59 (1961). MR139578
7. Ulanskii (E.A.).— Identities for generalized polylogarithm. Math Notes, 73, no 4, p. 571-581 (2003). Zbl1093.11049MR1991907
8. Zudilin (W.).— Diophantine problems for $q$-values, Math. Notes 72, no. 5-6, p. 858-862 (2002). Zbl1044.11066MR1964151

## NotesEmbed?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.