Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta

@article{Bézivin2008,
abstract = {Pour $q\in \mathbb\{C\}$, $|q|<1$, on définit la $q$-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités $\displaystyle \zeta _q(k)=\sum _\{n\ge 1\}\sigma _\{k-1\}(n)q^n=\sum _\{n\ge 1\}\frac\{n^\{k-1\}q^n\}\{1-q^n\}$.Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de $q$. La première concerne l’indépendance linéaire sur $\mathbb\{C\}(q)$ des fonctions $\zeta _q(k)$, pour $k\ge 1$, et la seconde l’indépendance algébrique sur $\mathbb\{C\}(q)$ des fonctions $\zeta _q(2),\zeta _q(4), \zeta _q(6)$, et des fonctions $\zeta _q(2k+1)$, $k\ge 0$. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde.Dans cet article, nous considérons la fonction $\displaystyle L(x,y)=\sum _\{n\ge 1\}\frac\{y^nx^n\}\{1-x^n\}$, et, avec $\displaystyle \tau =y\frac\{d\}\{dy\} $, les fonctions $\displaystyle \tau ^\{j\}(L)(x,y)=\sum _\{n\ge 1\}n^j\frac\{y^nx^n\}\{1-x^n\}$. Pour des valeurs $a_k, k=1,...,s$, soumises à quelques conditions techniques, nous démontrons des résultats d’indépendance linéaire et algébrique pour les fonctions $\displaystyle \tau ^\{j\}(L)(x,a_k)$.},
affiliation = {Université de Caen, Département de Mathématiques et Mécanique, Laboratoire N.Oresme, Campus II, Boulevard du Maréchal Juin, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France},
author = {Bézivin, Jean-Paul},
journal = {Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques},
language = {fre},
month = {6},
number = {1},
pages = {23-36},
publisher = {Université Paul Sabatier, Toulouse},
title = {Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta},
url = {http://eudml.org/doc/10079},
volume = {17},
year = {2008},
}

TY - JOUR
AU - Bézivin, Jean-Paul
TI - Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta
JO - Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques
DA - 2008/6//
PB - Université Paul Sabatier, Toulouse
VL - 17
IS - 1
SP - 23
EP - 36
AB - Pour $q\in \mathbb{C}$, $|q|<1$, on définit la $q$-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités $\displaystyle \zeta _q(k)=\sum _{n\ge 1}\sigma _{k-1}(n)q^n=\sum _{n\ge 1}\frac{n^{k-1}q^n}{1-q^n}$.Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de $q$. La première concerne l’indépendance linéaire sur $\mathbb{C}(q)$ des fonctions $\zeta _q(k)$, pour $k\ge 1$, et la seconde l’indépendance algébrique sur $\mathbb{C}(q)$ des fonctions $\zeta _q(2),\zeta _q(4), \zeta _q(6)$, et des fonctions $\zeta _q(2k+1)$, $k\ge 0$. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde.Dans cet article, nous considérons la fonction $\displaystyle L(x,y)=\sum _{n\ge 1}\frac{y^nx^n}{1-x^n}$, et, avec $\displaystyle \tau =y\frac{d}{dy} $, les fonctions $\displaystyle \tau ^{j}(L)(x,y)=\sum _{n\ge 1}n^j\frac{y^nx^n}{1-x^n}$. Pour des valeurs $a_k, k=1,...,s$, soumises à quelques conditions techniques, nous démontrons des résultats d’indépendance linéaire et algébrique pour les fonctions $\displaystyle \tau ^{j}(L)(x,a_k)$.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/10079
ER -