The Riesz-Raikov-Bourgain theorem for an algebraic endomorphism of p

Jean-Claude Lootgieter[1]

  • [1] Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 (France)

Annales de l’institut Fourier (2007)

  • Volume: 57, Issue: 1, page 45-126
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
The classical Riesz-Raikov theorem states that, for any integer θ > 1 and any f of L 1 ( 𝕋 ) , where 𝕋 = / , the averages 1 N 1 N f ( θ n x ) converge to 𝕋 f ( t ) d t for almost every point x of . J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) has proved that the preceding convergence takes place for any algebraic number θ > 1 and any f of L 2 ( 𝕋 ) . In this paper we prove that, for any endomorphism ϕ of  p algebraic on , whose proper values all have modulus > 1 , for any f of L 2 ( 𝕋 p ) , the averages 1 / N 1 N f ( ϕ n x ) converge to 𝕋 p f ( t ) d t for almost every point x of p . We follow and adapt J.Bourgain’s arguments as developed in the above mentioned paper.

How to cite

top

Lootgieter, Jean-Claude. "Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${\mathbb{R}}^p$." Annales de l’institut Fourier 57.1 (2007): 45-126. <http://eudml.org/doc/10224>.

@article{Lootgieter2007,
abstract = {Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier $\theta &gt;1$ et toute $f$ de $L^1(\mathbb\{T\})$, où $\mathbb\{T\}=\mathbb\{R\}/\mathbb\{Z\}$, les moyennes\[ \frac\{1\}\{N\} \sum \_\{1\}^N f(\theta ^n x) \hbox\{ convergent vers $\int _\{\mathbb\{T\}\} f(t)\,\{\rm d\}\, t$\} \]pour presque tout point $x$ de $\mathbb\{R\}$. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique $\theta &gt;1$ et toute $f$ de $L^2(\mathbb\{T\})$. Dans cet article nous prouvons que, si $\varphi $ est un endomorphisme de $\mathbb\{R\}^p$ algébrique sur $\mathbb\{Q\}$, dont les valeurs propres sont toutes de module $&gt;1$, alors pour toute $f$ de $L^2(\mathbb\{T\}^p)$, les moyennes $(\{1\}/\{N\}) \sum _\{1\}^N f(\varphi ^n x)$ convergent vers $\int _\{\mathbb\{T\}^p\} f(t) \,\{\rm d\}\, t$ pour presque tout point $x$ de $\mathbb\{R\}^p$. Nous suivons et adaptons les arguments développés par J.Bourgain dans l’article précité.},
affiliation = {Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 (France)},
author = {Lootgieter, Jean-Claude},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {Riesz-Raikov Theorem; Hopf maximal ergodic theorem; zero multiplicity of linear recurrence sequences; almost orthogonality; Fourier series and maximal inequalities},
language = {fre},
number = {1},
pages = {45-126},
publisher = {Association des Annales de l’institut Fourier},
title = {Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de $\{\mathbb\{R\}\}^p$},
url = {http://eudml.org/doc/10224},
volume = {57},
year = {2007},
}

TY - JOUR
AU - Lootgieter, Jean-Claude
TI - Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${\mathbb{R}}^p$
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2007
PB - Association des Annales de l’institut Fourier
VL - 57
IS - 1
SP - 45
EP - 126
AB - Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier $\theta &gt;1$ et toute $f$ de $L^1(\mathbb{T})$, où $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, les moyennes\[ \frac{1}{N} \sum _{1}^N f(\theta ^n x) \hbox{ convergent vers $\int _{\mathbb{T}} f(t)\,{\rm d}\, t$} \]pour presque tout point $x$ de $\mathbb{R}$. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique $\theta &gt;1$ et toute $f$ de $L^2(\mathbb{T})$. Dans cet article nous prouvons que, si $\varphi $ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^p$ algébrique sur $\mathbb{Q}$, dont les valeurs propres sont toutes de module $&gt;1$, alors pour toute $f$ de $L^2(\mathbb{T}^p)$, les moyennes $({1}/{N}) \sum _{1}^N f(\varphi ^n x)$ convergent vers $\int _{\mathbb{T}^p} f(t) \,{\rm d}\, t$ pour presque tout point $x$ de $\mathbb{R}^p$. Nous suivons et adaptons les arguments développés par J.Bourgain dans l’article précité.
LA - fre
KW - Riesz-Raikov Theorem; Hopf maximal ergodic theorem; zero multiplicity of linear recurrence sequences; almost orthogonality; Fourier series and maximal inequalities
UR - http://eudml.org/doc/10224
ER -

References

top
  1. J. Bourgain, The Riesz-Raikov theorem for algebraic numbers, Israël Mathematical Conference Proceedings 3 (1990), 1-45, Weizmann Zbl0729.11038MR1159107
  2. A. Garsia, Topics in almost everywhere convergence, Lectures in Advanced Math. 4 (1970), Markham Publ. Co. Zbl0198.38401MR261253
  3. B. Jessen, On the approximation of ebesgue integrals by Riemann sums, Annals of Math. 35 (1934), 248-251 Zbl0009.30603MR1503159
  4. C. Lech, A note on recurring series, Ark. Mat., Band 2 22 (1952), 417-421 Zbl0051.27801MR56634
  5. M. Raikov, On some arimetical properties of summable functions, Math. Sbornik (NS) 1 (1936), 377-383 Zbl0014.39701
  6. M. Riesz, Sur la théorie ergodique, Comm. Math. Helv. 17 (1945), 22-239 Zbl0063.06500MR14218
  7. H. P. Schlickewei, Multiplicities of recurrence sequences, Acta Math. 176 (1996), 171-243 Zbl0880.11016MR1397562
  8. W. M. Schmidt, The zero multiplicity of linear recurrence sequences, Acta Math. 182 (1999), 243-282 Zbl0974.11013MR1710183

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.