The Riesz-Raikov-Bourgain theorem for an algebraic endomorphism of ${ℝ}^p$

Lootgieter, Jean-Claude. "Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${\mathbb{R}}^p$." Annales de l’institut Fourier 57.1 (2007): 45-126. <http://eudml.org/doc/10224>.

@article{Lootgieter2007,
abstract = {Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier $\theta &gt;1$ et toute $f$ de $L^1(\mathbb\{T\})$, où $\mathbb\{T\}=\mathbb\{R\}/\mathbb\{Z\}$, les moyennes\[ \frac\{1\}\{N\} \sum \_\{1\}^N f(\theta ^n x) \hbox\{ convergent vers $\int _\{\mathbb\{T\}\} f(t)\,\{\rm d\}\, t$\} \]pour presque tout point $x$ de $\mathbb\{R\}$. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique $\theta &gt;1$ et toute $f$ de $L^2(\mathbb\{T\})$. Dans cet article nous prouvons que, si $\varphi $ est un endomorphisme de $\mathbb\{R\}^p$ algébrique sur $\mathbb\{Q\}$, dont les valeurs propres sont toutes de module $&gt;1$, alors pour toute $f$ de $L^2(\mathbb\{T\}^p)$, les moyennes $(\{1\}/\{N\}) \sum _\{1\}^N f(\varphi ^n x)$ convergent vers $\int _\{\mathbb\{T\}^p\} f(t) \,\{\rm d\}\, t$ pour presque tout point $x$ de $\mathbb\{R\}^p$. Nous suivons et adaptons les arguments développés par J.Bourgain dans l’article précité.},
affiliation = {Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 (France)},
author = {Lootgieter, Jean-Claude},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {Riesz-Raikov Theorem; Hopf maximal ergodic theorem; zero multiplicity of linear recurrence sequences; almost orthogonality; Fourier series and maximal inequalities},
language = {fre},
number = {1},
pages = {45-126},
publisher = {Association des Annales de l’institut Fourier},
title = {Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de $\{\mathbb\{R\}\}^p$},
url = {http://eudml.org/doc/10224},
volume = {57},
year = {2007},
}

TY - JOUR
AU - Lootgieter, Jean-Claude
TI - Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${\mathbb{R}}^p$
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2007
PB - Association des Annales de l’institut Fourier
VL - 57
IS - 1
SP - 45
EP - 126
AB - Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier $\theta &gt;1$ et toute $f$ de $L^1(\mathbb{T})$, où $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, les moyennes\[ \frac{1}{N} \sum _{1}^N f(\theta ^n x) \hbox{ convergent vers $\int _{\mathbb{T}} f(t)\,{\rm d}\, t$} \]pour presque tout point $x$ de $\mathbb{R}$. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique $\theta &gt;1$ et toute $f$ de $L^2(\mathbb{T})$. Dans cet article nous prouvons que, si $\varphi $ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^p$ algébrique sur $\mathbb{Q}$, dont les valeurs propres sont toutes de module $&gt;1$, alors pour toute $f$ de $L^2(\mathbb{T}^p)$, les moyennes $({1}/{N}) \sum _{1}^N f(\varphi ^n x)$ convergent vers $\int _{\mathbb{T}^p} f(t) \,{\rm d}\, t$ pour presque tout point $x$ de $\mathbb{R}^p$. Nous suivons et adaptons les arguments développés par J.Bourgain dans l’article précité.
LA - fre
KW - Riesz-Raikov Theorem; Hopf maximal ergodic theorem; zero multiplicity of linear recurrence sequences; almost orthogonality; Fourier series and maximal inequalities
UR - http://eudml.org/doc/10224
ER -