Aggregate theory versus set theory

Hartley Slater

Philosophia Scientiae (2005)

  • Volume: 9, Issue: 2, page 131-144
  • ISSN: 1281-2463

Abstract

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Maddy’s 1990 arguments against Aggregate Theory were undermined by the shift in her position in 1997. The present paper considers Aggregate Theory in the light this, and the recent search for ‘New Axioms for Mathematics’. If Set Theory is the part-whole theory of singletons, then identifying singletons with their single members collapses Set Theory into Aggregate Theory. But if singletons are not identical to their single members, then they are not extensional objects and so are not a basis for Science. Either way, the Continuum Hypothesis has no physical interest. I first show that, because there are non-sortal predicates, Frege’s attempt to derive Arithmetic from Logic stumbles at its very first step. For there are properties without a number, and the contingency of that condition means Frege’s definition of zero is not obtainable from Logic. This result then points to the need to consider more fully properties without a number, and so to generate a theory of continua based on mereological aggregates rather than sets containing numbers of things.

How to cite

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Slater, Hartley. "Aggregate theory versus set theory." Philosophia Scientiae 9.2 (2005): 131-144. <http://eudml.org/doc/103746>.

@article{Slater2005,
abstract = {Les arguments de Maddy avancés en 1990 contre la théorie des agrégats se trouvent affaiblis par le retournement qu’elle opère en 1997. La présente communication examine cette théorie à la lumière de ce retournement ainsi que des récentes recherches sur les “Nouveaux axiomes pour les mathématiques”. Si la théorie des ensembles est la théorie de la partie–tout des singletons, identifier les singletons à leurs membres singuliers ramène la théorie des ensembles à la théorie des agrégats. Toutefois si les singletons ne sont pas identiques à leurs membres singuliers, ce ne sont donc pas des objets extensionnels et ils ne peuvent former une base pour la Science. Dans tous les cas, l’hypothèse d’un continuum n’a aucun intérêt sur le plan physique. Je montre d’abord que, parce qu’il y a des prédicats non-sortaux, la tentative de Frege de faire dériver l’arithmétique de la logique bute dès ses premiers pas. Car il y a des propriétés sans nombre et la contingence de cette condition signifie que la définition du zéro donnée par Frege ne peut s’obtenir à partir de la logique. Ce résultat révèle le besoin de considérer davantage les propriétés sans nombre et donc de générer une théorie des continuums en se basant sur les agrégats méréologiques plutôt que sur des ensembles contenant des nombres de choses.},
author = {Slater, Hartley},
journal = {Philosophia Scientiae},
keywords = {aggregate theory; set theory; part-whole theory of singletons; continuum hypothesis},
language = {fre},
number = {2},
pages = {131-144},
publisher = {Éditions Kimé},
title = {Aggregate theory versus set theory},
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volume = {9},
year = {2005},
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TY - JOUR
AU - Slater, Hartley
TI - Aggregate theory versus set theory
JO - Philosophia Scientiae
PY - 2005
PB - Éditions Kimé
VL - 9
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EP - 144
AB - Les arguments de Maddy avancés en 1990 contre la théorie des agrégats se trouvent affaiblis par le retournement qu’elle opère en 1997. La présente communication examine cette théorie à la lumière de ce retournement ainsi que des récentes recherches sur les “Nouveaux axiomes pour les mathématiques”. Si la théorie des ensembles est la théorie de la partie–tout des singletons, identifier les singletons à leurs membres singuliers ramène la théorie des ensembles à la théorie des agrégats. Toutefois si les singletons ne sont pas identiques à leurs membres singuliers, ce ne sont donc pas des objets extensionnels et ils ne peuvent former une base pour la Science. Dans tous les cas, l’hypothèse d’un continuum n’a aucun intérêt sur le plan physique. Je montre d’abord que, parce qu’il y a des prédicats non-sortaux, la tentative de Frege de faire dériver l’arithmétique de la logique bute dès ses premiers pas. Car il y a des propriétés sans nombre et la contingence de cette condition signifie que la définition du zéro donnée par Frege ne peut s’obtenir à partir de la logique. Ce résultat révèle le besoin de considérer davantage les propriétés sans nombre et donc de générer une théorie des continuums en se basant sur les agrégats méréologiques plutôt que sur des ensembles contenant des nombres de choses.
LA - fre
KW - aggregate theory; set theory; part-whole theory of singletons; continuum hypothesis
UR - http://eudml.org/doc/103746
ER -

References

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  1. [1] Black, M.1970.— The Elusiveness of Sets, Review of Metaphysics, XXIV (1) 614–636. 
  2. [2] Boolos, G.1984.— To be is to be the value of a variable (or to be some values of some variables), Journal of Philosophy, LXXXI, 430–449. MR755478
  3. [3] Bostock, D.1974.— Logic and Arithmetic, volume I., Oxford : O.U.P. Zbl0273.02005
  4. [4] Bostock, D.1979.— Logic and Arithmetic, volume II., Oxford : O.U.P. Zbl0417.03002MR570479
  5. [5] Bunt, H.C.1985.— Mass Terms and Model-Theoretical Semantics, Cambridge : C.U.P. 
  6. [6] Dummett, M.1993.— Frege : Philosophy of Mathematics, London : Duckworth. MR1154309
  7. [7] Fraenkel, A.A.1965.— Set Theory, in Edwards, P. (ed.), Encyclopedia of Philosophy, New York : Macmillan. 
  8. [8] Frege, G.1968.— The Foundations of Arithmetic, 2 n d e d i t i o n , Oxford : Blackwell. Zbl0123.24604
  9. [9] Hailperin, T.1992.— Herbrand Semantics, the Potential Infinite, and Ontology-Free Logic, History and Philosophy of Logic, 13, 69–90. Zbl0755.03003MR1140871
  10. [10] Hale, B. & Wright, C.2001.— The Reason’s Proper Study, Oxford : Clarendon. Zbl1005.03006MR2037746
  11. [11] Kessler, G.1980.— Frege, Mill and the Foundations of Arithmetic, Journal of Philosophy, LXXVII, 65–79. 
  12. [12] Lavine, S.1994.— Understanding the Infinite, Cambridge MA : Harvard University Press. Zbl0961.03533MR1304680
  13. [13] Leisenring, A.C.1969.— Mathematical Logic and Hilbert’s Epsilon Symbol, London : Macdonald. Zbl0188.31501
  14. [14] Lewis, D.K.1991.— Parts of Classes, Oxford : Blackwell. Zbl0900.03061
  15. [15] Maddy, P.1990a.— Physicalistic Platonism, in Irvine, A.D. (ed.), Physicalism in Mathematics, Dordrecht : Kluwer. 
  16. [16] Maddy, P.1990b.— Realism in Mathematics, Oxford : Clarendon. Zbl0762.00001MR1075998
  17. [17] Maddy, P.1997.— Naturalism in Mathematics, Oxford : Clarendon. Zbl0931.03003MR1699270
  18. [18] Maddy, P.2000.— Does Mathematics need New Axioms ?, The Bulletin of Symbolic Logic, 6.4, 413–422. MR1814122
  19. [19] Mayberry, J.P.2000.— The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, Cambridge : C.U.P. Zbl0972.03001MR1826603
  20. [20] Mycielski, J.1981.— Analysis without Actual Infinity, Journal of Symbolic Logic, 46.3, 625-633. Zbl0466.03024MR627910
  21. [21] Quine, W.V.O.1963.— Set Theory and its Logic, Cambridge MA : Belknap Press. Zbl0193.30402MR274272
  22. [22] Rodych, V.2000.— Wittgenstein’s Critique of Set Theory, The Southern Journal of Philosophy, XXXVIII, 281–319. 
  23. [23] Ryle, G.1973.— The Concept of Mind, Harmondsworth : Penguin. 
  24. [24] Simons, P.1982.— Against the Aggregate Theory of Number, Journal of Philosophy, LXXIX, 163–167 
  25. [25] Slater, B.H.2000.— Concept and Object in Frege, Minerva, 4.. See : http://www.ul.ie/~philos/vol4/frege.html 
  26. [26] Tiles, M.1989.— The Philosophy of Set Theory, Oxford : Blackwell. Zbl0722.03039MR1012115
  27. [27] Wright, C.1983.— Frege’s Conception of Numbers as Objects, Aberdeen : Aberdeen University Press. Zbl0524.03005MR702514

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