Necessary condition and sufficient for certain Galois group to be metacyclic

Abdelmalek Azizi[1]; Mohammed Taous[1]

  • [1] Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohammed 1 Oujda Maroc

Annales mathématiques Blaise Pascal (2009)

  • Volume: 16, Issue: 1, page 83-92
  • ISSN: 1259-1734

Abstract

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Let d be positive square-free integers, K = Q ( d , i ) and i = - 1 . Let K 1 ( 2 ) be the Hilbert 2 -class field of K , K 2 ( 2 ) be the Hilbert 2 -class field of K 1 ( 2 ) and G = Gal ( K 2 ( 2 ) / K ) be the Galois group of K 2 ( 2 ) / K . Our goal is to show that there is some form of d such G is a nonmetacyclic 2 -group and give the necessary condition and sufficient for the group G to be metacyclic in case d = 2 p with p a prime number such that p ≡ 1 ( mod 4 ) .

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Azizi, Abdelmalek, and Taous, Mohammed. "Condition nécessaire et suffisante pour que certain groupe de Galois soit métacyclique." Annales mathématiques Blaise Pascal 16.1 (2009): 83-92. <http://eudml.org/doc/10574>.

@article{Azizi2009,
abstract = {Soient $d$ est un entier sans facteurs carrés, $\mathbf\{K\}=\mathbf\{Q\}(\sqrt\{d\},\,i)$, $i=\sqrt\{-1\}$, $\mathbf\{K\}_2^\{(1)\}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf\{K\}$, $\mathbf\{K\}_2^\{(2)\}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf\{K\}_2^\{(1)\}$ et $G=\mathrm\{Gal\}(\mathbf\{K\}_2^\{(2)\}/\mathbf\{K\})$ le groupe de Galois de $\mathbf\{K\}_2^\{(2)\}/\mathbf\{K\}$. Notre but est de montrer qu’il existe une forme de $d$ tel que le $2$-groupe $G$ est non métacyclique et de donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe $G$ soit métacyclique dans le cas où $d=2p$ avec $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1\hspace\{4.44443pt\}(\@mod \; 4)$.},
affiliation = {Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohammed 1 Oujda Maroc; Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohammed 1 Oujda Maroc},
author = {Azizi, Abdelmalek, Taous, Mohammed},
journal = {Annales mathématiques Blaise Pascal},
keywords = {groupe des unités; système fondamentale d’unités; capitulation; corps de classes de Hilbert; $2$-groupe métacyclique; Hilbert class field; class field tower; metacyclic extensions; Galois group},
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publisher = {Annales mathématiques Blaise Pascal},
title = {Condition nécessaire et suffisante pour que certain groupe de Galois soit métacyclique},
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TY - JOUR
AU - Azizi, Abdelmalek
AU - Taous, Mohammed
TI - Condition nécessaire et suffisante pour que certain groupe de Galois soit métacyclique
JO - Annales mathématiques Blaise Pascal
DA - 2009/1//
PB - Annales mathématiques Blaise Pascal
VL - 16
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EP - 92
AB - Soient $d$ est un entier sans facteurs carrés, $\mathbf{K}=\mathbf{Q}(\sqrt{d},\,i)$, $i=\sqrt{-1}$, $\mathbf{K}_2^{(1)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}$, $\mathbf{K}_2^{(2)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}_2^{(1)}$ et $G=\mathrm{Gal}(\mathbf{K}_2^{(2)}/\mathbf{K})$ le groupe de Galois de $\mathbf{K}_2^{(2)}/\mathbf{K}$. Notre but est de montrer qu’il existe une forme de $d$ tel que le $2$-groupe $G$ est non métacyclique et de donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe $G$ soit métacyclique dans le cas où $d=2p$ avec $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1\hspace{4.44443pt}(\@mod \; 4)$.
LA - fre
KW - groupe des unités; système fondamentale d’unités; capitulation; corps de classes de Hilbert; $2$-groupe métacyclique; Hilbert class field; class field tower; metacyclic extensions; Galois group
UR - http://eudml.org/doc/10574
ER -

References

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