L’existence d’un polynôme $f$, irréductible sur un corps $k$ de caractéristique $0$ et dont trois racines vérifient la relation linéaire $x_1=x_2+x_3$, ne dépend que de la paire de groupes finis $(G,H)$ où $G={\mathrm{Gal}}_k\left(f\right)$ et $H\subset G$ est le fixateur d’une racine. Le cas régulier ($H=1$) est désormais assez bien décrit. On démontre dans ce texte que pour de nombreuses paires $(G,H)$ primitives ($H$ sous-groupe maximal de $G$) et en particulier pour toutes celles de degré $\le 50$, la relation $x_1=x_2+x_3$ n’est pas réalisable. En appendice, Joseph...

En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers $q\>0$ et $k\>0$, il existe une partie infinie $L_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in L_{q,k}$ et tout entier $s$ tel que $0\<\left|s\right|\le q$, on ait $n+s=\left|s\right|t_1...t_k$ où $t_1\<...\<t_k$ sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers $q\>0$ et $k\>0$, il existe une partie infinie $M_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in M_{q,k}$ et tout entier $s$ (nul ou non ) de l’intervalle $\left[-q,q\right]$, on ait $n+s=l{t}_1...t_k$ où $t_1\<...\<t_k$ sont des nombres premiers et l’entier $l$ appartient à l’intervalle $\left[1,2q+1\right]$. La lecture...

Soit $\theta$ un nombre réel, avec $\theta \>1,$ et soit $A_{\left[\theta \right]}$ l’ensemble des nombres $P\left(\theta \right)$ pour $P$ décrivant les polynômes à coefficients dans $\{0,1,...,[\theta \left]\right\}.$ En utilisant des résultats d’Yves Meyer sur les ensembles harmonieux, on montre que $\theta$ est un nombre de Pisot si et seulement si l’ensemble $A_{\left[\theta \right]}\cup (-A_{\left[\theta \right]})$ est un ensemble de Meyer, et on déduit quelques résultats déjà prouvés par Y. Bugeaud ou P. Erdös et V. Komornik, sur le spectre des nombres de Pisot. Les mêmes outils permettent aussi de montrer que pour $\epsilon \in ]0,1],$ les $\epsilon$-nombres de Pisot...

Soient $k$ le corps quadratique réel $\mathbf{Q}\left(\sqrt{d}\right)$ (respectivement le corps biquadratique $\mathbf{Q}(\sqrt{d},\sqrt{-3})$), $d$ un entier positif sans facteur carré, $K$ une extension cubique cyclique non ramifiée de $k$, diédrale sur $\mathbf{Q}$ totalement réelle, (respectivement diédrale sur $\mathbf{Q}\left(\sqrt{-3}\right)$.) On constate qu’on a deux structures possibles pour le groupe des unités $U_K$ de $K$, notées $alpha$ et $delta$.

1. Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal Irr(θ,K,z) sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot si pour tout plongement σ de K dans ℂ le polynôme σIrr(θ,K,z) possède une unique racine de module > 1 et aucune racine de module 1. Ces nombres ont été définis par A. M. Bergé et J. Martinet [2]. Comme dans [2], on représente un K-nombre de Pisot θ dans l’algèbre $A={ℝ}^{r₁}\times {ℂ}^{r₂}$, où (r₁,r₂) désigne la signature du corps K, par la suite...

Soit $c\>1$, $p$ un nombre premier et $𝒜$ une partie de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ de cardinal supérieur à $c\sqrt{p}$ telle que pour tout sous-ensemble non vide $ℬ$ de $𝒜$, on a ${\sum }_{b\in ℬ}b\ne 0$. On montre qu’il existe $s$ premier à $p$ tel que l’ensemble $s.𝒜$ est très concentré autour de l’origine et qu’il est presque entièrement composé d’éléments de partie fractionnaire positive. Plus précisément, on a $$\sum _{a\in 𝒜}∥\frac{sa}{p}∥\<1+O(p^{-1/4}lnp)\text{et}\sum _{\begin{array}{c}a\in 𝒜,\\ \{sa/p\}\ge 1/2\end{array}}∥\frac{sa}{p}∥=O(p^{-1/4}lnp).$$ On montre également que les termes d’erreurs ne peuvent être remplacés par $o\left(p^{-1/2}\right)$.

1. Introduction et notations. Soit K un corps de nombres de degré n, de signature $(r_1,r_2)$ et de discriminant $d_K$. Dans [Od], A. M. Odlyzko évoque le problème de savoir l’ordre de grandeur du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind. Dans cette direction, une conjecture a été énoncée dans [To] qui dit que la hauteur du premier zéro est majorée par $C/ln\left(\right|d_K\left|\right)$ où C est une constante positive qui ne dépend que de n. L’idée de cette dernière inégalité provient d’un théorème de densité (sous GRH) dû a...