Pincement de la première valeur propre du laplacien pour les hypersurfaces et rigidité

Julien Roth[1]

  • [1] Université Paris-Est Marne-la-Vallée Laboratoire d’Analyse et de Mathématiques Appliquée 5 boulevard Descartes Cité Descartes - Champs-sur-Marne 77454 Marne-la-Vallée cedex 2 (France)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie (2007-2008)

  • Volume: 26, page 123-138
  • ISSN: 1624-5458

Abstract

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Robert C. Reilly obtained upper bounds for the first eigenvalue of the Laplacian for hypersurfaces of Euclidean space. He also showed that the equality case of these upper bounds is attained only for geodesic spheres. In this talk, we are interested in the pinching problem for these inequalities. We show that if the equality is almost attained, then the hypersurface is close to a sphere. Then, we deduce results for almost umbilical hypersurfaces and a new characterization of geodesic spheres.

How to cite

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Roth, Julien. "Pincement de la première valeur propre du laplacien pour les hypersurfaces et rigidité." Séminaire de théorie spectrale et géométrie 26 (2007-2008): 123-138. <http://eudml.org/doc/11233>.

@article{Roth2007-2008,
abstract = {Robert C. Reilly a obtenu des majorations de la première valeur propre du laplacien pour les hypersurfaces de l’espace euclidien. De plus, il a montré que le cas d’égalité dans ces majorations est atteint uniquement pour les sphères géodésiques. Dans cet exposé, nous nous intéressons au problème de pincement pour ces majorations. Nous montrons que si le cas d’égalité est presque atteint, alors l’hypersurface est proche d’une sphère, en un sens que nous préciserons. Nous déduisons ensuite des résultats pour les hypersurfaces presque ombiliques ainsi qu’une nouvelle caractérisation des sphères géodésiques.},
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References

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  1. A.D. Alexandrov, Uniqueness theorems for the surfaces in the large I, Vesnik Leningrad Univ. 11 (1956), 5-17 MR86338
  2. E. Aubry, Diameter pinching in almost positive Ricci curvature Zbl1167.53033
  3. B. Colbois, J.F. Grosjean, A pinching theorem for the first eigenvalue of the Laplacian on hypersurfaces of the Euclidean space, Comment. Math. Helv. 82 (2007), 175-195 Zbl1112.53003MR2296061
  4. A. Fialkow, Hypersurfaces of a space of constant curvature, Ann. of Math. 39 (1938), 762-783 Zbl0020.06601MR1503435
  5. J.-F. Grosjean, Eigenvalue pinching and application to the stability and the almost umbilicity of hypersurfaces Zbl1243.53071
  6. J.F. Grosjean, Upper bounds for the first eigenvalue of the Laplacian on compact manifolds, Pac. J. Math. 206 (2002), 93-111 Zbl1050.58024MR1924820
  7. H. Hopf, Differential Geometry in the large, 1000 (1983), Springer-Verlag, Berlin Zbl0526.53002MR707850
  8. W.J. Hsiang, Z.U. Teng, W.C. Yu, New examples of constant mean curvature immersions of (2k-1)-spheres into Euclidean 2k-space, Ann. Math. (2) 117 (1983), 609-625 Zbl0522.53052MR701257
  9. M. Jleli, F. Pacard, An end-to-end construction for compact constant mean curvature surfaces, Pac. J. Math. 221 (2005), 81-108 Zbl1110.53043MR2194146
  10. S. Montiel, A. Ros, Compact hypersurfaces : the Alexandrov theorem for higher order mean curvature, Pitman Monographs Surveys Pure Appl. Math. 52 (1991), 279-296 Zbl0723.53032MR1173047
  11. R.C. Reilly, On the first eigenvalue of the Laplacian for compact submanifolds of Euclidean space, Comment. Math. Helv. 52 (1977), 525-533 Zbl0382.53038MR482597
  12. A. Ros, Compact hypersurfaces with constant higher order mean curvatures, Revista Mat. Iberoamer. 3 (1987), 477-483 Zbl0673.53003MR996826
  13. J. Roth, Sphere Rigidity in the Euclidean space 
  14. J. Roth, Pinching of the first eigenvalue of the Laplacian and almost-Einstein hypersurfaces of Euclidean space, Ann. Glob. Anal. Geom. 33 (2008), 293-306 Zbl1151.53010MR2390836
  15. T.Y. Thomas, On closed space of constant mean curvature, Amer. J. Math. 58 (1936), 702-704 Zbl0015.27303MR1507192
  16. H. Wente, Counterexample to a conjecture of H. Hopf, Pac. J. Math. 121 (1986), 193-243 Zbl0586.53003MR815044

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