Volume and total curvature for hypersurfaces of euclidean space

Oancea, Alexandru. "Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l'espace euclidien." Annales de l’institut Fourier 54.3 (2004): 733-771. <http://eudml.org/doc/116125>.

@article{Oancea2004,
abstract = {Nous étudions des analogues en dimension supérieure de l’inégalité de Burago $A(S)\le R^2 T(S)$, avec $S$ une surface fermée de classe $C^2$ immergée dans $\{\mathbb \{R\}\}^3$, $A(S)$ son aire et $T(S)$ sa courbure totale. Nous donnons un exemple explicite qui prouve qu’une inégalité analogue de la forme $\{\rm vol\}(M) \le C_n R^n T(M)$, avec $C_n &gt; 0$ une constante, ne peut être vraie pour une hypersurface fermée $M$ de classe $C^2$ dans $\{\mathbb \{R\}\}^\{n+1\}$, $n\ge 3$. Nous mettons toutefois en évidence une condition suffisante sur la courbure de Ricci sous laquelle l’inégalité est vérifiée en dimension $n=3$. En dimension arbitraire, nous obtenons une inégalité similaire à caractère semi-local qui majore le volume d’un compact $K$ de $M$ par la courbure totale d’un ouvert $U$ qui le contient, sous l’hypothèse que la courbure de Gauss-Kronecker ne s’annule pas sur $U$. Nous présentons différentes autres inégalités impliquant la courbure totale et ayant un caractère isopérimétrique. Au passage, nous obtenons une inégalité isopérimétrique “inverse” valable dans les espaces à courbure constante.},
affiliation = {Ecole Polytechnique, CMAT, 91128 Palaiseau Cedex, (France), ENS Lyon, UMPA, 46 Allée d'Italie, 69364 Lyon (France)},
author = {Oancea, Alexandru},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {hypersurfaces; total curvature; isoperimetrics inequalities},
language = {fre},
number = {3},
pages = {733-771},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l'espace euclidien},
url = {http://eudml.org/doc/116125},
volume = {54},
year = {2004},
}

TY - JOUR
AU - Oancea, Alexandru
TI - Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l'espace euclidien
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2004
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 54
IS - 3
SP - 733
EP - 771
AB - Nous étudions des analogues en dimension supérieure de l’inégalité de Burago $A(S)\le R^2 T(S)$, avec $S$ une surface fermée de classe $C^2$ immergée dans ${\mathbb {R}}^3$, $A(S)$ son aire et $T(S)$ sa courbure totale. Nous donnons un exemple explicite qui prouve qu’une inégalité analogue de la forme ${\rm vol}(M) \le C_n R^n T(M)$, avec $C_n &gt; 0$ une constante, ne peut être vraie pour une hypersurface fermée $M$ de classe $C^2$ dans ${\mathbb {R}}^{n+1}$, $n\ge 3$. Nous mettons toutefois en évidence une condition suffisante sur la courbure de Ricci sous laquelle l’inégalité est vérifiée en dimension $n=3$. En dimension arbitraire, nous obtenons une inégalité similaire à caractère semi-local qui majore le volume d’un compact $K$ de $M$ par la courbure totale d’un ouvert $U$ qui le contient, sous l’hypothèse que la courbure de Gauss-Kronecker ne s’annule pas sur $U$. Nous présentons différentes autres inégalités impliquant la courbure totale et ayant un caractère isopérimétrique. Au passage, nous obtenons une inégalité isopérimétrique “inverse” valable dans les espaces à courbure constante.
LA - fre
KW - hypersurfaces; total curvature; isoperimetrics inequalities
UR - http://eudml.org/doc/116125
ER -