Symboles des restes quadratiques des discriminants dans les extensions modérément ramifiées

A. Movahhedi; M. Zahidi

Acta Arithmetica (2000)

  • Volume: 92, Issue: 3, page 239-250
  • ISSN: 0065-1036

Abstract

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1. Introduction. Soit L un corps de nombres de degré n sur le corps ℚ des nombres rationnels de discriminant D = D L / ℚ . Si l’entier D n’est pas un carré, on note d le discriminant du corps quadratique ℚ(√D), sinon on pose d=1. Soit p un nombre premier non-ramifié dans L de sorte que le symbole des restes quadratiques (D/p) soit non-nul. Un théorème déjà ancien dû à A. Pellet ([3, page 245]), L. Stickelberger et G. Voronoï montre que la parité du nombre g d’idéaux premiers de L au-dessus de p est déterminée par ce symbole (D/p). En effet, nous avons ( D / p ) = ( - 1 ) n - g . Plus généralement, même si p est ramifié dans L, on aimerait pouvoir relier le symbole (d/p) à la décomposition ( p ) = P ₁ e ₁ . . . P g e g de p en produit d’idéaux premiers P i de L. Supposons que p n’est pas sauvagement ramifié dans L. Si f i désigne le degré résiduel de P i dans l’extension L/ℚ, alors la valuation p-adique du discriminant D est donnée par v p ( D ) = ∑ i = 1 g ( e i - 1 ) f i [9, Chap. 3, Prop. 13]. Donc le symbole (d/p) est non-nul dès que tous les indices de ramification e i sont impairs. Dans ce dernier cas, généralisant une série de résultats (Wahlin [10], Hasse [5], Buhler [2], Dribin [4], Kientega [6],...), P. Barrucand et F. Laubie ont établi la formule suivante (également valable dans le cas relatif) [1]: (d/p) = (-1)F (p/E) avec E = ∏2∤fi ei et F = ∑2|fi1. Notre but est de donner une formule analogue sans aucune hypothèse sur la parité des indices de ramification e i . Cet article s’inscrit donc comme une suite logique de [1] et en est largement inspiré.

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A. Movahhedi, and M. Zahidi. "Symboles des restes quadratiques des discriminants dans les extensions modérément ramifiées." Acta Arithmetica 92.3 (2000): 239-250. <http://eudml.org/doc/207385>.

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References

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