@article{A2000,
abstract = {1. Introduction. Soit L un corps de nombres de degré n sur le corps ℚ des nombres rationnels de discriminant $D = D_\{L/ℚ\}$. Si l’entier D n’est pas un carré, on note d le discriminant du corps quadratique ℚ(√D), sinon on pose d=1. Soit p un nombre premier non-ramifié dans L de sorte que le symbole des restes quadratiques (D/p) soit non-nul. Un théorème déjà ancien dû à A. Pellet ([3, page 245]), L. Stickelberger et G. Voronoï montre que la parité du nombre g d’idéaux premiers de L au-dessus de p est déterminée par ce symbole (D/p). En effet, nous avons $(D/p) = (-1)^\{n-g\}$.
Plus généralement, même si p est ramifié dans L, on aimerait pouvoir relier le symbole (d/p) à la décomposition $(p) = P₁^\{e₁\} ... P_g^\{e_g\}$ de p en produit d’idéaux premiers $P_i$ de L.
Supposons que p n’est pas sauvagement ramifié dans L. Si $f_i$ désigne le degré résiduel de $P_i$ dans l’extension L/ℚ, alors la valuation p-adique du discriminant D est donnée par $v_p(D) = ∑_\{i=1\}^\{g\} (e_i - 1)f_i$ [9, Chap. 3, Prop. 13]. Donc le symbole (d/p) est non-nul dès que tous les indices de ramification $e_i$ sont impairs. Dans ce dernier cas, généralisant une série de résultats (Wahlin [10], Hasse [5], Buhler [2], Dribin [4], Kientega [6],...), P. Barrucand et F. Laubie ont établi la formule suivante (également valable dans le cas relatif) [1]:
(d/p) = (-1)F (p/E) avec E = ∏2∤fi ei et F = ∑2|fi1.
Notre but est de donner une formule analogue sans aucune hypothèse sur la parité des indices de ramification $e_i$. Cet article s’inscrit donc comme une suite logique de [1] et en est largement inspiré.},
author = {A. Movahhedi, M. Zahidi},
journal = {Acta Arithmetica},
keywords = {quadratic residue symbol; discriminant of an extension field; splitting of prime ideals},
language = {fre},
number = {3},
pages = {239-250},
title = {Symboles des restes quadratiques des discriminants dans les extensions modérément ramifiées},
url = {http://eudml.org/doc/207385},
volume = {92},
year = {2000},
}
TY - JOUR
AU - A. Movahhedi
AU - M. Zahidi
TI - Symboles des restes quadratiques des discriminants dans les extensions modérément ramifiées
JO - Acta Arithmetica
PY - 2000
VL - 92
IS - 3
SP - 239
EP - 250
AB - 1. Introduction. Soit L un corps de nombres de degré n sur le corps ℚ des nombres rationnels de discriminant $D = D_{L/ℚ}$. Si l’entier D n’est pas un carré, on note d le discriminant du corps quadratique ℚ(√D), sinon on pose d=1. Soit p un nombre premier non-ramifié dans L de sorte que le symbole des restes quadratiques (D/p) soit non-nul. Un théorème déjà ancien dû à A. Pellet ([3, page 245]), L. Stickelberger et G. Voronoï montre que la parité du nombre g d’idéaux premiers de L au-dessus de p est déterminée par ce symbole (D/p). En effet, nous avons $(D/p) = (-1)^{n-g}$.
Plus généralement, même si p est ramifié dans L, on aimerait pouvoir relier le symbole (d/p) à la décomposition $(p) = P₁^{e₁} ... P_g^{e_g}$ de p en produit d’idéaux premiers $P_i$ de L.
Supposons que p n’est pas sauvagement ramifié dans L. Si $f_i$ désigne le degré résiduel de $P_i$ dans l’extension L/ℚ, alors la valuation p-adique du discriminant D est donnée par $v_p(D) = ∑_{i=1}^{g} (e_i - 1)f_i$ [9, Chap. 3, Prop. 13]. Donc le symbole (d/p) est non-nul dès que tous les indices de ramification $e_i$ sont impairs. Dans ce dernier cas, généralisant une série de résultats (Wahlin [10], Hasse [5], Buhler [2], Dribin [4], Kientega [6],...), P. Barrucand et F. Laubie ont établi la formule suivante (également valable dans le cas relatif) [1]:
(d/p) = (-1)F (p/E) avec E = ∏2∤fi ei et F = ∑2|fi1.
Notre but est de donner une formule analogue sans aucune hypothèse sur la parité des indices de ramification $e_i$. Cet article s’inscrit donc comme une suite logique de [1] et en est largement inspiré.
LA - fre
KW - quadratic residue symbol; discriminant of an extension field; splitting of prime ideals
UR - http://eudml.org/doc/207385
ER -
