Sur un problème de la théorie de la mesure. I

Mirimanoff, D.. "Sur un problème de la théorie de la mesure. I." Fundamenta Mathematicae 4.1 (1923): 76-81. <http://eudml.org/doc/213625>.

@article{Mirimanoff1923,
abstract = {Dans l'étude de certaines questions relatives à la théorie des fonctions on est conduit parfois à envisager le problème suivant: Problème: Soient E\_x un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Ox, E\_y un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Oy (axes rectangulaires). Menons par les points de E\_x des parallèles à Oy et par les points de E\_y des parallèles à Ox, et soit E l'ensemble de tous les points d'intersection de ces deux familles de droites. Désignons par E\_\{λ\} la projection orthogonale de E sur une droite Oλ faisant avec Ox un angle quelconque ϑ. La mesure de E\_\{λ\} est une fonction f(ϑ) de ϑ qui s'annule pour ϑ = 0 et ϑ = π/2. Quelle est cette fonction, admet-elle d'autres zéros? La solution est immédiate, lorsque l'un au moins des ensembles E\_x, E\_y est dénombrable. En effet, dans ce cas la mesure de E\_\{λ\} est nulle quel que soit ϑ, donc f(ϑ) =0. Mais il n'en est plus de même si aucun des ensembles E\_x, E\_y n'est dénombrable. Le but de cette note est de donner la solution de ce problème dans le cas particulièrement simple, où chacun des ensembles E\_x, E\_y est un ensemble parfait de Cantor.},
author = {Mirimanoff, D.},
journal = {Fundamenta Mathematicae},
keywords = {zbiór doskonały; zbiór nieprzeliczalny; zbiór miary zero; rzut prostopadły; teoria miary; zbiór Cantora},
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TY - JOUR
AU - Mirimanoff, D.
TI - Sur un problème de la théorie de la mesure. I
JO - Fundamenta Mathematicae
PY - 1923
VL - 4
IS - 1
SP - 76
EP - 81
AB - Dans l'étude de certaines questions relatives à la théorie des fonctions on est conduit parfois à envisager le problème suivant: Problème: Soient E_x un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Ox, E_y un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Oy (axes rectangulaires). Menons par les points de E_x des parallèles à Oy et par les points de E_y des parallèles à Ox, et soit E l'ensemble de tous les points d'intersection de ces deux familles de droites. Désignons par E_{λ} la projection orthogonale de E sur une droite Oλ faisant avec Ox un angle quelconque ϑ. La mesure de E_{λ} est une fonction f(ϑ) de ϑ qui s'annule pour ϑ = 0 et ϑ = π/2. Quelle est cette fonction, admet-elle d'autres zéros? La solution est immédiate, lorsque l'un au moins des ensembles E_x, E_y est dénombrable. En effet, dans ce cas la mesure de E_{λ} est nulle quel que soit ϑ, donc f(ϑ) =0. Mais il n'en est plus de même si aucun des ensembles E_x, E_y n'est dénombrable. Le but de cette note est de donner la solution de ce problème dans le cas particulièrement simple, où chacun des ensembles E_x, E_y est un ensemble parfait de Cantor.
LA - fre
KW - zbiór doskonały; zbiór nieprzeliczalny; zbiór miary zero; rzut prostopadły; teoria miary; zbiór Cantora
UR - http://eudml.org/doc/213625
ER -