Zasady algebry wyższej

Sierpiński, Wacław

  • Publisher: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk(Warszawa-Wrocław), 1946

Abstract

top
SPIS RZECZYPRZEDMOWA........................................ VROZDZIAŁ I. PERMUTACJE§ 1. Permutacje elementów......................... 1§ 2. Nieporządek elementu i permutacji. Podział permutacji na dwie klasy......... 2§ 3. Transpozycje. Ich wpływ na klasę permutacji. Liczba permutacyj każdej klasy...... 3§ 4. Otrzymywanie dowolnej permutacji za pomocą kolejnych transpozycyj..... 5ROZDZIAŁ II. WYZNACZNIKI§ 1. Wstęp historyczny............................. 7§ 2. Definicja wyznacznika...................... 8§ 3. Obliczanie wyznaczników pierwszych czterech stopni........... 9§ 4. Zamiana wierszy wyznacznika na kolumny............................. 11§ 5. Zamiana dwóch równoległych rzędów wyznacznika...................... 13§ 6. Rozwinięcie wyznacznika według elementów wiersza lub kolumny..... 14§ 7. Wnioski........................ 16§ 8. Rozwinięcie wyznacznika według składników wiersza lub kolumny. Zastosowania..... 19§ 9. Wyznacznik Vandermonde’a........................... 20§ 10. Mnożenie wyznaczników jednakowego stopnia.............. 25§ 11. Mnożenie wyznaczników różnych stopni.............. 29§ 12. Wyznacznik utworzony z minorów danego wyznacznika............. 30§ 13. Metoda Banachiewicza obliczania wyznaczników........... 35ROZDZIAŁ III. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ LINIOWYCH§ 1. Przekształcenia liniowe...................... 37§ 2. Rozwiązywanie układu równań liniowych...................... 39§ 3. Przykłady................. 40§ 4. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest równy liczbie równań........ 45§ 5. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest mniejszy od ilości równań...... 47§ 6. Sposób rozwiązywania układu m równań liniowych o n niewiadomych w przypadku ogólnym............. 49§ 7. Warunek konieczny i dostateczny rozwiązalności układu m równań o n niewiadomych........... 50§ 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą równych współczynników.................. 51§ 9. Przykłady........................... 53ROZDZIAŁ IV. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE§ 1. Przekształcenia liniowe jednorodne, ich odwracanie i składanie............... 62§ 2. Przekształcenia ortogonalne............................ 64ROZDZIAŁ V. MACIERZE§ 1. Mnożenie macierzy. Przykłady.................. 66§ 2. Własności iloczynu macierzy............... 69§ 3. Macierz zerowa i jednostkowa................ 69§ 4. Macierz odwrotna...................... 70§ 5. Dzielenie macierzy..................... 74§ 6. Macierz odwrócona. Macierze ortogonalne............. 75§ 7. Krakowiany............. 76§ 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych za pomocą krakowianów............. 78ROZDZIAŁ VI. LICZBY ZESPOLONE§ 1. Liczby zespolone. Ich równość, suma i iloczyn............... 81§ 2, Różnica i iloraz liczb zespolonych................... 82§ 3. Liczba i............... 84§ 4. Liczby zespolone sprzężone............. 86§ 5. Obrazy geometryczne liczb zespolonych. Moduł.............. 89§ 6. Forma trygonometryczna liczb zespolonych............. 91§ 7. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych........ 93§ 8. Pierwiastki n-go stopnia z jedności.............. 94ROZDZIAŁ VII. DOWÓD ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ALGEBRY§ 1. Lemat Gaussa........... 98§ 2. Zasadnicze twierdzenie Algebry............. 100ROZDZIAŁ VIII. WIELOMIANY§ 1. Dzielenie wielomianu przez wielomian. Reszta............... 102§ 2. Dzielenie wielomianu przez dwumian x-a. Pochodna wielomianu..... 105§ 3. Podzielność wielomianów. Ich dzielniki wspólne. Największy wspólny dzielnik............. 107§ 4. Algorytm kolejnych dzieleń................... 109§ 5. Wielomiany względnie pierwsze.................. 112§ 6. Największy wspólny dzielnik wielu wielomianów.............. 115§ 7, Najmniejsza wspólna wielokrotność wielomianów............... 117§ 8. Wzór Taylora dla wielomianów jednej zmiennej............. 118§ 9. Pierwiastki wielokrotne wielomianu...................... 120§ 10. Pozbywanie się pierwiastków wielokrotnych wielomianu......... 122§ 11. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe. Wnioski............... 123§ 12. Wzory interpolacyjne Lagrange’a i Newtona................ 130§ 13. Własności wielomianów o współczynnikach całkowitych................. 132§ 14. Wielomiany nieprzywiedlne............................ 133§ 15. Wyznaczanie dzielników wielomianów o współczynnikach całkowitych....... 136§ 16. Wielomiany n zmiennych......................... 137§ 17. Badanie podzielności wielomianów dwóch zmiennych.................... 141§ 18. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika wielomianów dwóchi zmiennych............... 144§ 19. Wyznaczanie dzielników wielomianów wielu zmiennych...................... 146§ 20. Przykłady........................... 147§ 21. Rozkład wielomianów jednorodnych 2-go stopnia na sumy kwadratów wielomianów liniowych.............. 149§ 22. Funkcje wymierne i niewymierne....................... 151§ 23. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste........................ 152ROZDZIAŁ IX. WIELOMIANY SYMETRYCZNE§ 1. Funkcje symetryczne podstawowe....................... 157§ 2. Niezależność algebraiczna funkcyj symetrycznych podstawowych................ 157§ 3. Zasadnicze twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Dowód Caychy’ego...... 159§ 4. Dowód Waringa............................. 161§ 5. Wzory Newtona............................. 163§ 6. Wyróżnik równania......................... 167ROZDZIAŁ X. RÓWNANIA DRUGIEGO, TRZECIEGO I CZWARTEGO STOPNIA§ 1. Równania 2-go stopnia....................... 169§ 2. Równania dwukwadratowe...................... 174§ 3. Równania 3-go stopnia....................... 175§ 4. Przykłady równań 3-go stopnia............... 180§ 5. Równania 3-go stopnia....................... 184§ 6. Równania 4-go stopnia....................... 187§ 7. Rozwiązywanie równań 4-go stopnia przy pomocy funkcyj symetrycznych............... 193§ 8. Sposób Ferrari’ego rozwiązywania równań 4-go stopnia......................... 194§ 9, Metoda Tschirnhausena przekształcania równań............................ 196ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIA PODZIAŁU KOŁA§ 1. Równania z n - 1 = 0 dla n ≤ 6................... 199§ 2. Równanie z 7 - 1 = 0 ............................. 201§ 3. Równania z 8 - 1 = 0 , z 9 - 1 = 0 oraz z 1 0 - 1 = 0 ....... 203§ 4. Równanie z 1 7 - 1 = 0 ........................ 204§ 5. Konstrukcje za pomocą cyrkla i liniału.................... 208ROZDZIAŁ XII. LICZBY ALGEBRAICZNE§ 1. Liczby algebraiczne n-go stopnia......................... 210§ 2. Dowód istnienia liczb algebraicznych dowolnego stopnia........... 213§ 3. Twierdzenie o sumie i iloczynie liczb algebraicznych.............. 214§ 4. Wielomiany, których współczynniki są liczbami algebraicznymi......... 217§ 5. Przybliżenia wymierne liczb algebraicznych n-go stopnia.............. 217§ 6. Dowód Liouville’a istnienia liczb przestępnych.................. 221ROZDZIAŁ XIII. CIAŁA LICZBOWE§ 1. Definicja ciała liczbowego. Przykłady................................. 224§ 2. Rozszerzanie ciał liczbowych przez dołączanie nowych liczb............... 226§ 3. Wielomiany nieprzywiedlne w ciele liczbowym......................... 227§ 4. Kolejne dołączanie liczb algebraicznych do ciała liczb wymiernych.............. 233§ 5. Przedstawianie pierwiastków równania zn-1=0 za pomocą pierwiastników stopnia mniejszego od n........ 235§ 6.Układy liczb algebraicznie niezależnych.......................... 239ROZDZIAŁ XIV. DOWODY NIEMOŻLIWOŚCI§ 1. Niemożliwość przedstawienia pierwiastków wielomianu nieprzywiedlnego 3-go stopnia za pomocą pierwiastników kwadratowych............ 241§ 2. Podział koła na 7 i na 9 równych części. Trysekcja kąta............ 243§ 3. Niemożliwość przedstawienia za pomocą pierwiastników rzeczywistych pierwiastków wielomianu 3-go stopnia o współczynnikach wymiernych i trzech pierwiastkach rzeczywistychniewymiernych............ 249§ 4. Niemożliwość przedstawienia części rzeczywistej oraz współczynnika przy i liczby ∛1+2i za pomocą pierwiastników rzeczywistych.......... 251§ 5. Własność pierwiastków pierwotnych 7-go i 9-go stopnia z jedności.............. 252ROZDZIAŁ XV. UKŁADY DWU RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH§ 1. Wspólne pierwiastki dwu wielomianów jednej zmiennej................... 254§ 2. Wspólne pierwiastki wielomianu i jego pochodnej.................... 256§ 3. Rozwiązywanie układu dwu równań algebraicznych o dwu niewiadomych. Metoda Sylvestera...... 257§ 4. Przypadek, gdy żaden z rugowników nie jest tożsamościowo zerem........ 259§ 5. Przypadek, gdy jeden z rugowników jest tożsamościowo zerem............ 261§ 6. Przypadek, gdy oba rugowniki są tożsamościowo równe zeru............. 262§ 7. Metoda Fermata rozwiązywania układu dwu równań algebraicznych........ 263ROZDZIAŁ XVI. OBLICZANIE PIERWIASTKÓW RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH§ 1. Twierdzenie Sturma..................... 265§ 2. Wnioski z twierdzenia Sturma........... 270§ 3. Oddzielanie i przybliżone obliczanie pierwiastków............. 273§ 4. Reguła falsi i metoda Newtona.................. 276§ 5. Obliczanie pierwiastków zespolonych wielomianu o dowolnych współczynnikach zespolonych........... 278ROZDZIAŁ XVII. OGÓLNA TEORIA DZIAŁAѧ 1. Ogólna definicja działania. Przykłady................. 280§ 2. Tabliczka działania................. 281§ 3. Działania przemienne i działania łączne................ 282§ 4. Działania na zbiorach skończonych.................. 285§ 5. Rozdzielność działania względem innego działania.............. 286§ 6. Działania odwrotne. Przykłady................. 288§ 7. Działania odwrotne względem działań odwrotnych. Przykłady............ 290§ 8. Izomorfizm działań. Przykłady............... 295ROZDZIAŁ XVIII. PODSTAWIENIA§ 1. Podstawienia. Ich znakowanie. Podstawienia odwrotne.................. 299§ 2. Iloczyn podstawień....................................... 300§ 3. Przedstawienia podstawień za pomocą cyklów. Wyrażenia analityczne podstawień.......... 302§ 4. Podstawienia w ciągu nieskończonym liczb naturalnych..................... 304ROZDZIAŁ XIX. GRUPY§ 1. Definicja grupy. Przykłady.......................... 306§ 2. Jedność grupy i jej własności...................... 310§ 3. Elementy odwrotne i ich własności.................. 311§ 4. Jednoznaczna wykonalność działań odwrotnych.......... 312§ 5. Produkt grup......................................... 314§ 6. Podgrupy; Przykłady................................. 315§ 7. Podgrupy grup cyklicznych.......................... 319§ 8. Część wspólna podgrup. Rząd elementu grupy. Przykłady.... 322§ 9. Podgrupy przekształcone. Podgrupy sprzężone. Dzielniki normalne.... 325§ 10. Liczba elementów podgrupy grupy skończonej............... 326§ 11. Kompleksy i ich iloczyny........................ 328§ 12. Izomorfizm i automorfizm grup. Przykłady................. 330§ 13. Własności izomorfizmu. Grupy a podstawienia.................. 334§ 14. Grupy, których liczba elementów jest liczbą, pierwszą. Ich automorfizmy............ 336§ 15. Grupy o 4 elementach........................... 337§ 16. Grupy o 6 i więcej elementach.................. 338§ 17. Homomorfizm. Endomorfizm.......................... 340§ 18. Grupy podstawień, nie zmieniających wielomianu n zmiennych..................... 342§ 19. Grupa Galois równania................................ 346ROZDZIAŁ XX. UOGÓLNIENIE CIAŁ LICZBOWYCH§ 1. Definicja ciała..................... 348§ 2. Przykłady ciał...................... 349§ 3. Dołączanie elementu do ciała........ 359§ 4. Podciała. Ciała proste.............. 360§ 5. Ciała skończone...................... 363§ 6. Ciała złożone z 4 elementów.......... 365ZARYS TEORII GALOIS - A. MOSTOWSKICZĘŚĆ I. GRUPA GALOIS§ 1. Grupy podstawień. Pojęcie symetrii....... 371§ 2. Grupa Galois........................... 374§ 3. Grupy symetrii funkcji wymiernych pierwiastków równania................. 376§ 4. Istnienie liczb o danej grupie symetrii........................ 380§ 5. Uogólnienie twierdzenia o funkcjach symetrycznych................ 384§ 6. Wyznaczanie grupy Galois............................ 385§ 7. Własności liczb ciała Σ......................... 389§ 8. Kryterium nieprzywiedlności wielomianu.......... 391§ 9. Równania o grupie symetrycznej.................. 393§ 10. Wyznaczenie wszystkich ciał między K i Σ........ 395CZĘŚĆ II. ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH§ 11. Redukcja grupy G przy rozszerzaniu ciała K...... 398§ 12. Grupa równania, któremu czyni zadość Θ........... 400§ 13. Sprowadzenie równania f(x)=0 do równań prostych.. 403§ 14. Przykłady........................................ 405§ 15. Prostota grupy naprzemiennej..................... 409§ 16. Niewymierności naturalne i uboczne............... 411§ 17. Równania czyste.................................. 413§ 18. Równania cykliczne............................... 416§ 19. Równania rozwiązalne przez pierwiastniki......... 420§ 20. Konstrukcje przy pomocy cyrkla i liniału......... 423§ 21. Pierwiastniki rzeczywiste......................... 427SKOROWIDZ NAZW......................... 429SKOROWIDZ NAZWISK...................... 433SKOROWIDZ ZNAKÓW........................ 434ERRATA..................... 435

How to cite

top

Sierpiński, Wacław. Zasady algebry wyższej. Warszawa-Wrocław: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk, 1946. <http://eudml.org/doc/219312>.

@book{Sierpiński1946,
abstract = {SPIS RZECZYPRZEDMOWA........................................ VROZDZIAŁ I. PERMUTACJE§ 1. Permutacje elementów......................... 1§ 2. Nieporządek elementu i permutacji. Podział permutacji na dwie klasy......... 2§ 3. Transpozycje. Ich wpływ na klasę permutacji. Liczba permutacyj każdej klasy...... 3§ 4. Otrzymywanie dowolnej permutacji za pomocą kolejnych transpozycyj..... 5ROZDZIAŁ II. WYZNACZNIKI§ 1. Wstęp historyczny............................. 7§ 2. Definicja wyznacznika...................... 8§ 3. Obliczanie wyznaczników pierwszych czterech stopni........... 9§ 4. Zamiana wierszy wyznacznika na kolumny............................. 11§ 5. Zamiana dwóch równoległych rzędów wyznacznika...................... 13§ 6. Rozwinięcie wyznacznika według elementów wiersza lub kolumny..... 14§ 7. Wnioski........................ 16§ 8. Rozwinięcie wyznacznika według składników wiersza lub kolumny. Zastosowania..... 19§ 9. Wyznacznik Vandermonde’a........................... 20§ 10. Mnożenie wyznaczników jednakowego stopnia.............. 25§ 11. Mnożenie wyznaczników różnych stopni.............. 29§ 12. Wyznacznik utworzony z minorów danego wyznacznika............. 30§ 13. Metoda Banachiewicza obliczania wyznaczników........... 35ROZDZIAŁ III. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ LINIOWYCH§ 1. Przekształcenia liniowe...................... 37§ 2. Rozwiązywanie układu równań liniowych...................... 39§ 3. Przykłady................. 40§ 4. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest równy liczbie równań........ 45§ 5. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest mniejszy od ilości równań...... 47§ 6. Sposób rozwiązywania układu m równań liniowych o n niewiadomych w przypadku ogólnym............. 49§ 7. Warunek konieczny i dostateczny rozwiązalności układu m równań o n niewiadomych........... 50§ 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą równych współczynników.................. 51§ 9. Przykłady........................... 53ROZDZIAŁ IV. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE§ 1. Przekształcenia liniowe jednorodne, ich odwracanie i składanie............... 62§ 2. Przekształcenia ortogonalne............................ 64ROZDZIAŁ V. MACIERZE§ 1. Mnożenie macierzy. Przykłady.................. 66§ 2. Własności iloczynu macierzy............... 69§ 3. Macierz zerowa i jednostkowa................ 69§ 4. Macierz odwrotna...................... 70§ 5. Dzielenie macierzy..................... 74§ 6. Macierz odwrócona. Macierze ortogonalne............. 75§ 7. Krakowiany............. 76§ 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych za pomocą krakowianów............. 78ROZDZIAŁ VI. LICZBY ZESPOLONE§ 1. Liczby zespolone. Ich równość, suma i iloczyn............... 81§ 2, Różnica i iloraz liczb zespolonych................... 82§ 3. Liczba i............... 84§ 4. Liczby zespolone sprzężone............. 86§ 5. Obrazy geometryczne liczb zespolonych. Moduł.............. 89§ 6. Forma trygonometryczna liczb zespolonych............. 91§ 7. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych........ 93§ 8. Pierwiastki n-go stopnia z jedności.............. 94ROZDZIAŁ VII. DOWÓD ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ALGEBRY§ 1. Lemat Gaussa........... 98§ 2. Zasadnicze twierdzenie Algebry............. 100ROZDZIAŁ VIII. WIELOMIANY§ 1. Dzielenie wielomianu przez wielomian. Reszta............... 102§ 2. Dzielenie wielomianu przez dwumian x-a. Pochodna wielomianu..... 105§ 3. Podzielność wielomianów. Ich dzielniki wspólne. Największy wspólny dzielnik............. 107§ 4. Algorytm kolejnych dzieleń................... 109§ 5. Wielomiany względnie pierwsze.................. 112§ 6. Największy wspólny dzielnik wielu wielomianów.............. 115§ 7, Najmniejsza wspólna wielokrotność wielomianów............... 117§ 8. Wzór Taylora dla wielomianów jednej zmiennej............. 118§ 9. Pierwiastki wielokrotne wielomianu...................... 120§ 10. Pozbywanie się pierwiastków wielokrotnych wielomianu......... 122§ 11. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe. Wnioski............... 123§ 12. Wzory interpolacyjne Lagrange’a i Newtona................ 130§ 13. Własności wielomianów o współczynnikach całkowitych................. 132§ 14. Wielomiany nieprzywiedlne............................ 133§ 15. Wyznaczanie dzielników wielomianów o współczynnikach całkowitych....... 136§ 16. Wielomiany n zmiennych......................... 137§ 17. Badanie podzielności wielomianów dwóch zmiennych.................... 141§ 18. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika wielomianów dwóchi zmiennych............... 144§ 19. Wyznaczanie dzielników wielomianów wielu zmiennych...................... 146§ 20. Przykłady........................... 147§ 21. Rozkład wielomianów jednorodnych 2-go stopnia na sumy kwadratów wielomianów liniowych.............. 149§ 22. Funkcje wymierne i niewymierne....................... 151§ 23. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste........................ 152ROZDZIAŁ IX. WIELOMIANY SYMETRYCZNE§ 1. Funkcje symetryczne podstawowe....................... 157§ 2. Niezależność algebraiczna funkcyj symetrycznych podstawowych................ 157§ 3. Zasadnicze twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Dowód Caychy’ego...... 159§ 4. Dowód Waringa............................. 161§ 5. Wzory Newtona............................. 163§ 6. Wyróżnik równania......................... 167ROZDZIAŁ X. RÓWNANIA DRUGIEGO, TRZECIEGO I CZWARTEGO STOPNIA§ 1. Równania 2-go stopnia....................... 169§ 2. Równania dwukwadratowe...................... 174§ 3. Równania 3-go stopnia....................... 175§ 4. Przykłady równań 3-go stopnia............... 180§ 5. Równania 3-go stopnia....................... 184§ 6. Równania 4-go stopnia....................... 187§ 7. Rozwiązywanie równań 4-go stopnia przy pomocy funkcyj symetrycznych............... 193§ 8. Sposób Ferrari’ego rozwiązywania równań 4-go stopnia......................... 194§ 9, Metoda Tschirnhausena przekształcania równań............................ 196ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIA PODZIAŁU KOŁA§ 1. Równania $z^n-1 = 0$ dla n ≤ 6................... 199§ 2. Równanie $z^7-1 = 0$............................. 201§ 3. Równania $z^8-1 = 0, z^9-1 = 0$ oraz $z^10-1 = 0$....... 203§ 4. Równanie $z^17-1 = 0$........................ 204§ 5. Konstrukcje za pomocą cyrkla i liniału.................... 208ROZDZIAŁ XII. LICZBY ALGEBRAICZNE§ 1. Liczby algebraiczne n-go stopnia......................... 210§ 2. Dowód istnienia liczb algebraicznych dowolnego stopnia........... 213§ 3. Twierdzenie o sumie i iloczynie liczb algebraicznych.............. 214§ 4. Wielomiany, których współczynniki są liczbami algebraicznymi......... 217§ 5. Przybliżenia wymierne liczb algebraicznych n-go stopnia.............. 217§ 6. Dowód Liouville’a istnienia liczb przestępnych.................. 221ROZDZIAŁ XIII. CIAŁA LICZBOWE§ 1. Definicja ciała liczbowego. Przykłady................................. 224§ 2. Rozszerzanie ciał liczbowych przez dołączanie nowych liczb............... 226§ 3. Wielomiany nieprzywiedlne w ciele liczbowym......................... 227§ 4. Kolejne dołączanie liczb algebraicznych do ciała liczb wymiernych.............. 233§ 5. Przedstawianie pierwiastków równania zn-1=0 za pomocą pierwiastników stopnia mniejszego od n........ 235§ 6.Układy liczb algebraicznie niezależnych.......................... 239ROZDZIAŁ XIV. DOWODY NIEMOŻLIWOŚCI§ 1. Niemożliwość przedstawienia pierwiastków wielomianu nieprzywiedlnego 3-go stopnia za pomocą pierwiastników kwadratowych............ 241§ 2. Podział koła na 7 i na 9 równych części. Trysekcja kąta............ 243§ 3. Niemożliwość przedstawienia za pomocą pierwiastników rzeczywistych pierwiastków wielomianu 3-go stopnia o współczynnikach wymiernych i trzech pierwiastkach rzeczywistychniewymiernych............ 249§ 4. Niemożliwość przedstawienia części rzeczywistej oraz współczynnika przy i liczby ∛1+2i za pomocą pierwiastników rzeczywistych.......... 251§ 5. Własność pierwiastków pierwotnych 7-go i 9-go stopnia z jedności.............. 252ROZDZIAŁ XV. UKŁADY DWU RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH§ 1. Wspólne pierwiastki dwu wielomianów jednej zmiennej................... 254§ 2. Wspólne pierwiastki wielomianu i jego pochodnej.................... 256§ 3. Rozwiązywanie układu dwu równań algebraicznych o dwu niewiadomych. Metoda Sylvestera...... 257§ 4. Przypadek, gdy żaden z rugowników nie jest tożsamościowo zerem........ 259§ 5. Przypadek, gdy jeden z rugowników jest tożsamościowo zerem............ 261§ 6. Przypadek, gdy oba rugowniki są tożsamościowo równe zeru............. 262§ 7. Metoda Fermata rozwiązywania układu dwu równań algebraicznych........ 263ROZDZIAŁ XVI. OBLICZANIE PIERWIASTKÓW RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH§ 1. Twierdzenie Sturma..................... 265§ 2. Wnioski z twierdzenia Sturma........... 270§ 3. Oddzielanie i przybliżone obliczanie pierwiastków............. 273§ 4. Reguła falsi i metoda Newtona.................. 276§ 5. Obliczanie pierwiastków zespolonych wielomianu o dowolnych współczynnikach zespolonych........... 278ROZDZIAŁ XVII. OGÓLNA TEORIA DZIAŁAѧ 1. Ogólna definicja działania. Przykłady................. 280§ 2. Tabliczka działania................. 281§ 3. Działania przemienne i działania łączne................ 282§ 4. Działania na zbiorach skończonych.................. 285§ 5. Rozdzielność działania względem innego działania.............. 286§ 6. Działania odwrotne. Przykłady................. 288§ 7. Działania odwrotne względem działań odwrotnych. Przykłady............ 290§ 8. Izomorfizm działań. Przykłady............... 295ROZDZIAŁ XVIII. PODSTAWIENIA§ 1. Podstawienia. Ich znakowanie. Podstawienia odwrotne.................. 299§ 2. Iloczyn podstawień....................................... 300§ 3. Przedstawienia podstawień za pomocą cyklów. Wyrażenia analityczne podstawień.......... 302§ 4. Podstawienia w ciągu nieskończonym liczb naturalnych..................... 304ROZDZIAŁ XIX. GRUPY§ 1. Definicja grupy. Przykłady.......................... 306§ 2. Jedność grupy i jej własności...................... 310§ 3. Elementy odwrotne i ich własności.................. 311§ 4. Jednoznaczna wykonalność działań odwrotnych.......... 312§ 5. Produkt grup......................................... 314§ 6. Podgrupy; Przykłady................................. 315§ 7. Podgrupy grup cyklicznych.......................... 319§ 8. Część wspólna podgrup. Rząd elementu grupy. Przykłady.... 322§ 9. Podgrupy przekształcone. Podgrupy sprzężone. Dzielniki normalne.... 325§ 10. Liczba elementów podgrupy grupy skończonej............... 326§ 11. Kompleksy i ich iloczyny........................ 328§ 12. Izomorfizm i automorfizm grup. Przykłady................. 330§ 13. Własności izomorfizmu. Grupy a podstawienia.................. 334§ 14. Grupy, których liczba elementów jest liczbą, pierwszą. Ich automorfizmy............ 336§ 15. Grupy o 4 elementach........................... 337§ 16. Grupy o 6 i więcej elementach.................. 338§ 17. Homomorfizm. Endomorfizm.......................... 340§ 18. Grupy podstawień, nie zmieniających wielomianu n zmiennych..................... 342§ 19. Grupa Galois równania................................ 346ROZDZIAŁ XX. UOGÓLNIENIE CIAŁ LICZBOWYCH§ 1. Definicja ciała..................... 348§ 2. Przykłady ciał...................... 349§ 3. Dołączanie elementu do ciała........ 359§ 4. Podciała. Ciała proste.............. 360§ 5. Ciała skończone...................... 363§ 6. Ciała złożone z 4 elementów.......... 365ZARYS TEORII GALOIS - A. MOSTOWSKICZĘŚĆ I. GRUPA GALOIS§ 1. Grupy podstawień. Pojęcie symetrii....... 371§ 2. Grupa Galois........................... 374§ 3. Grupy symetrii funkcji wymiernych pierwiastków równania................. 376§ 4. Istnienie liczb o danej grupie symetrii........................ 380§ 5. Uogólnienie twierdzenia o funkcjach symetrycznych................ 384§ 6. Wyznaczanie grupy Galois............................ 385§ 7. Własności liczb ciała Σ......................... 389§ 8. Kryterium nieprzywiedlności wielomianu.......... 391§ 9. Równania o grupie symetrycznej.................. 393§ 10. Wyznaczenie wszystkich ciał między K i Σ........ 395CZĘŚĆ II. ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH§ 11. Redukcja grupy G przy rozszerzaniu ciała K...... 398§ 12. Grupa równania, któremu czyni zadość Θ........... 400§ 13. Sprowadzenie równania f(x)=0 do równań prostych.. 403§ 14. Przykłady........................................ 405§ 15. Prostota grupy naprzemiennej..................... 409§ 16. Niewymierności naturalne i uboczne............... 411§ 17. Równania czyste.................................. 413§ 18. Równania cykliczne............................... 416§ 19. Równania rozwiązalne przez pierwiastniki......... 420§ 20. Konstrukcje przy pomocy cyrkla i liniału......... 423§ 21. Pierwiastniki rzeczywiste......................... 427SKOROWIDZ NAZW......................... 429SKOROWIDZ NAZWISK...................... 433SKOROWIDZ ZNAKÓW........................ 434ERRATA..................... 435},
author = {Sierpiński, Wacław},
language = {pol},
location = {Warszawa-Wrocław},
publisher = {Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk},
title = {Zasady algebry wyższej},
url = {http://eudml.org/doc/219312},
year = {1946},
}

TY - BOOK
AU - Sierpiński, Wacław
TI - Zasady algebry wyższej
PY - 1946
CY - Warszawa-Wrocław
PB - Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
AB - SPIS RZECZYPRZEDMOWA........................................ VROZDZIAŁ I. PERMUTACJE§ 1. Permutacje elementów......................... 1§ 2. Nieporządek elementu i permutacji. Podział permutacji na dwie klasy......... 2§ 3. Transpozycje. Ich wpływ na klasę permutacji. Liczba permutacyj każdej klasy...... 3§ 4. Otrzymywanie dowolnej permutacji za pomocą kolejnych transpozycyj..... 5ROZDZIAŁ II. WYZNACZNIKI§ 1. Wstęp historyczny............................. 7§ 2. Definicja wyznacznika...................... 8§ 3. Obliczanie wyznaczników pierwszych czterech stopni........... 9§ 4. Zamiana wierszy wyznacznika na kolumny............................. 11§ 5. Zamiana dwóch równoległych rzędów wyznacznika...................... 13§ 6. Rozwinięcie wyznacznika według elementów wiersza lub kolumny..... 14§ 7. Wnioski........................ 16§ 8. Rozwinięcie wyznacznika według składników wiersza lub kolumny. Zastosowania..... 19§ 9. Wyznacznik Vandermonde’a........................... 20§ 10. Mnożenie wyznaczników jednakowego stopnia.............. 25§ 11. Mnożenie wyznaczników różnych stopni.............. 29§ 12. Wyznacznik utworzony z minorów danego wyznacznika............. 30§ 13. Metoda Banachiewicza obliczania wyznaczników........... 35ROZDZIAŁ III. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ LINIOWYCH§ 1. Przekształcenia liniowe...................... 37§ 2. Rozwiązywanie układu równań liniowych...................... 39§ 3. Przykłady................. 40§ 4. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest równy liczbie równań........ 45§ 5. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest mniejszy od ilości równań...... 47§ 6. Sposób rozwiązywania układu m równań liniowych o n niewiadomych w przypadku ogólnym............. 49§ 7. Warunek konieczny i dostateczny rozwiązalności układu m równań o n niewiadomych........... 50§ 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą równych współczynników.................. 51§ 9. Przykłady........................... 53ROZDZIAŁ IV. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE§ 1. Przekształcenia liniowe jednorodne, ich odwracanie i składanie............... 62§ 2. Przekształcenia ortogonalne............................ 64ROZDZIAŁ V. MACIERZE§ 1. Mnożenie macierzy. Przykłady.................. 66§ 2. Własności iloczynu macierzy............... 69§ 3. Macierz zerowa i jednostkowa................ 69§ 4. Macierz odwrotna...................... 70§ 5. Dzielenie macierzy..................... 74§ 6. Macierz odwrócona. Macierze ortogonalne............. 75§ 7. Krakowiany............. 76§ 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych za pomocą krakowianów............. 78ROZDZIAŁ VI. LICZBY ZESPOLONE§ 1. Liczby zespolone. Ich równość, suma i iloczyn............... 81§ 2, Różnica i iloraz liczb zespolonych................... 82§ 3. Liczba i............... 84§ 4. Liczby zespolone sprzężone............. 86§ 5. Obrazy geometryczne liczb zespolonych. Moduł.............. 89§ 6. Forma trygonometryczna liczb zespolonych............. 91§ 7. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych........ 93§ 8. Pierwiastki n-go stopnia z jedności.............. 94ROZDZIAŁ VII. DOWÓD ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ALGEBRY§ 1. Lemat Gaussa........... 98§ 2. Zasadnicze twierdzenie Algebry............. 100ROZDZIAŁ VIII. WIELOMIANY§ 1. Dzielenie wielomianu przez wielomian. Reszta............... 102§ 2. Dzielenie wielomianu przez dwumian x-a. Pochodna wielomianu..... 105§ 3. Podzielność wielomianów. Ich dzielniki wspólne. Największy wspólny dzielnik............. 107§ 4. Algorytm kolejnych dzieleń................... 109§ 5. Wielomiany względnie pierwsze.................. 112§ 6. Największy wspólny dzielnik wielu wielomianów.............. 115§ 7, Najmniejsza wspólna wielokrotność wielomianów............... 117§ 8. Wzór Taylora dla wielomianów jednej zmiennej............. 118§ 9. Pierwiastki wielokrotne wielomianu...................... 120§ 10. Pozbywanie się pierwiastków wielokrotnych wielomianu......... 122§ 11. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe. Wnioski............... 123§ 12. Wzory interpolacyjne Lagrange’a i Newtona................ 130§ 13. Własności wielomianów o współczynnikach całkowitych................. 132§ 14. Wielomiany nieprzywiedlne............................ 133§ 15. Wyznaczanie dzielników wielomianów o współczynnikach całkowitych....... 136§ 16. Wielomiany n zmiennych......................... 137§ 17. Badanie podzielności wielomianów dwóch zmiennych.................... 141§ 18. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika wielomianów dwóchi zmiennych............... 144§ 19. Wyznaczanie dzielników wielomianów wielu zmiennych...................... 146§ 20. Przykłady........................... 147§ 21. Rozkład wielomianów jednorodnych 2-go stopnia na sumy kwadratów wielomianów liniowych.............. 149§ 22. Funkcje wymierne i niewymierne....................... 151§ 23. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste........................ 152ROZDZIAŁ IX. WIELOMIANY SYMETRYCZNE§ 1. Funkcje symetryczne podstawowe....................... 157§ 2. Niezależność algebraiczna funkcyj symetrycznych podstawowych................ 157§ 3. Zasadnicze twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Dowód Caychy’ego...... 159§ 4. Dowód Waringa............................. 161§ 5. Wzory Newtona............................. 163§ 6. Wyróżnik równania......................... 167ROZDZIAŁ X. RÓWNANIA DRUGIEGO, TRZECIEGO I CZWARTEGO STOPNIA§ 1. Równania 2-go stopnia....................... 169§ 2. Równania dwukwadratowe...................... 174§ 3. Równania 3-go stopnia....................... 175§ 4. Przykłady równań 3-go stopnia............... 180§ 5. Równania 3-go stopnia....................... 184§ 6. Równania 4-go stopnia....................... 187§ 7. Rozwiązywanie równań 4-go stopnia przy pomocy funkcyj symetrycznych............... 193§ 8. Sposób Ferrari’ego rozwiązywania równań 4-go stopnia......................... 194§ 9, Metoda Tschirnhausena przekształcania równań............................ 196ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIA PODZIAŁU KOŁA§ 1. Równania $z^n-1 = 0$ dla n ≤ 6................... 199§ 2. Równanie $z^7-1 = 0$............................. 201§ 3. Równania $z^8-1 = 0, z^9-1 = 0$ oraz $z^10-1 = 0$....... 203§ 4. Równanie $z^17-1 = 0$........................ 204§ 5. Konstrukcje za pomocą cyrkla i liniału.................... 208ROZDZIAŁ XII. LICZBY ALGEBRAICZNE§ 1. Liczby algebraiczne n-go stopnia......................... 210§ 2. Dowód istnienia liczb algebraicznych dowolnego stopnia........... 213§ 3. Twierdzenie o sumie i iloczynie liczb algebraicznych.............. 214§ 4. Wielomiany, których współczynniki są liczbami algebraicznymi......... 217§ 5. Przybliżenia wymierne liczb algebraicznych n-go stopnia.............. 217§ 6. Dowód Liouville’a istnienia liczb przestępnych.................. 221ROZDZIAŁ XIII. CIAŁA LICZBOWE§ 1. Definicja ciała liczbowego. Przykłady................................. 224§ 2. Rozszerzanie ciał liczbowych przez dołączanie nowych liczb............... 226§ 3. Wielomiany nieprzywiedlne w ciele liczbowym......................... 227§ 4. Kolejne dołączanie liczb algebraicznych do ciała liczb wymiernych.............. 233§ 5. Przedstawianie pierwiastków równania zn-1=0 za pomocą pierwiastników stopnia mniejszego od n........ 235§ 6.Układy liczb algebraicznie niezależnych.......................... 239ROZDZIAŁ XIV. DOWODY NIEMOŻLIWOŚCI§ 1. Niemożliwość przedstawienia pierwiastków wielomianu nieprzywiedlnego 3-go stopnia za pomocą pierwiastników kwadratowych............ 241§ 2. Podział koła na 7 i na 9 równych części. Trysekcja kąta............ 243§ 3. Niemożliwość przedstawienia za pomocą pierwiastników rzeczywistych pierwiastków wielomianu 3-go stopnia o współczynnikach wymiernych i trzech pierwiastkach rzeczywistychniewymiernych............ 249§ 4. Niemożliwość przedstawienia części rzeczywistej oraz współczynnika przy i liczby ∛1+2i za pomocą pierwiastników rzeczywistych.......... 251§ 5. Własność pierwiastków pierwotnych 7-go i 9-go stopnia z jedności.............. 252ROZDZIAŁ XV. UKŁADY DWU RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH§ 1. Wspólne pierwiastki dwu wielomianów jednej zmiennej................... 254§ 2. Wspólne pierwiastki wielomianu i jego pochodnej.................... 256§ 3. Rozwiązywanie układu dwu równań algebraicznych o dwu niewiadomych. Metoda Sylvestera...... 257§ 4. Przypadek, gdy żaden z rugowników nie jest tożsamościowo zerem........ 259§ 5. Przypadek, gdy jeden z rugowników jest tożsamościowo zerem............ 261§ 6. Przypadek, gdy oba rugowniki są tożsamościowo równe zeru............. 262§ 7. Metoda Fermata rozwiązywania układu dwu równań algebraicznych........ 263ROZDZIAŁ XVI. OBLICZANIE PIERWIASTKÓW RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH§ 1. Twierdzenie Sturma..................... 265§ 2. Wnioski z twierdzenia Sturma........... 270§ 3. Oddzielanie i przybliżone obliczanie pierwiastków............. 273§ 4. Reguła falsi i metoda Newtona.................. 276§ 5. Obliczanie pierwiastków zespolonych wielomianu o dowolnych współczynnikach zespolonych........... 278ROZDZIAŁ XVII. OGÓLNA TEORIA DZIAŁAѧ 1. Ogólna definicja działania. Przykłady................. 280§ 2. Tabliczka działania................. 281§ 3. Działania przemienne i działania łączne................ 282§ 4. Działania na zbiorach skończonych.................. 285§ 5. Rozdzielność działania względem innego działania.............. 286§ 6. Działania odwrotne. Przykłady................. 288§ 7. Działania odwrotne względem działań odwrotnych. Przykłady............ 290§ 8. Izomorfizm działań. Przykłady............... 295ROZDZIAŁ XVIII. PODSTAWIENIA§ 1. Podstawienia. Ich znakowanie. Podstawienia odwrotne.................. 299§ 2. Iloczyn podstawień....................................... 300§ 3. Przedstawienia podstawień za pomocą cyklów. Wyrażenia analityczne podstawień.......... 302§ 4. Podstawienia w ciągu nieskończonym liczb naturalnych..................... 304ROZDZIAŁ XIX. GRUPY§ 1. Definicja grupy. Przykłady.......................... 306§ 2. Jedność grupy i jej własności...................... 310§ 3. Elementy odwrotne i ich własności.................. 311§ 4. Jednoznaczna wykonalność działań odwrotnych.......... 312§ 5. Produkt grup......................................... 314§ 6. Podgrupy; Przykłady................................. 315§ 7. Podgrupy grup cyklicznych.......................... 319§ 8. Część wspólna podgrup. Rząd elementu grupy. Przykłady.... 322§ 9. Podgrupy przekształcone. Podgrupy sprzężone. Dzielniki normalne.... 325§ 10. Liczba elementów podgrupy grupy skończonej............... 326§ 11. Kompleksy i ich iloczyny........................ 328§ 12. Izomorfizm i automorfizm grup. Przykłady................. 330§ 13. Własności izomorfizmu. Grupy a podstawienia.................. 334§ 14. Grupy, których liczba elementów jest liczbą, pierwszą. Ich automorfizmy............ 336§ 15. Grupy o 4 elementach........................... 337§ 16. Grupy o 6 i więcej elementach.................. 338§ 17. Homomorfizm. Endomorfizm.......................... 340§ 18. Grupy podstawień, nie zmieniających wielomianu n zmiennych..................... 342§ 19. Grupa Galois równania................................ 346ROZDZIAŁ XX. UOGÓLNIENIE CIAŁ LICZBOWYCH§ 1. Definicja ciała..................... 348§ 2. Przykłady ciał...................... 349§ 3. Dołączanie elementu do ciała........ 359§ 4. Podciała. Ciała proste.............. 360§ 5. Ciała skończone...................... 363§ 6. Ciała złożone z 4 elementów.......... 365ZARYS TEORII GALOIS - A. MOSTOWSKICZĘŚĆ I. GRUPA GALOIS§ 1. Grupy podstawień. Pojęcie symetrii....... 371§ 2. Grupa Galois........................... 374§ 3. Grupy symetrii funkcji wymiernych pierwiastków równania................. 376§ 4. Istnienie liczb o danej grupie symetrii........................ 380§ 5. Uogólnienie twierdzenia o funkcjach symetrycznych................ 384§ 6. Wyznaczanie grupy Galois............................ 385§ 7. Własności liczb ciała Σ......................... 389§ 8. Kryterium nieprzywiedlności wielomianu.......... 391§ 9. Równania o grupie symetrycznej.................. 393§ 10. Wyznaczenie wszystkich ciał między K i Σ........ 395CZĘŚĆ II. ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH§ 11. Redukcja grupy G przy rozszerzaniu ciała K...... 398§ 12. Grupa równania, któremu czyni zadość Θ........... 400§ 13. Sprowadzenie równania f(x)=0 do równań prostych.. 403§ 14. Przykłady........................................ 405§ 15. Prostota grupy naprzemiennej..................... 409§ 16. Niewymierności naturalne i uboczne............... 411§ 17. Równania czyste.................................. 413§ 18. Równania cykliczne............................... 416§ 19. Równania rozwiązalne przez pierwiastniki......... 420§ 20. Konstrukcje przy pomocy cyrkla i liniału......... 423§ 21. Pierwiastniki rzeczywiste......................... 427SKOROWIDZ NAZW......................... 429SKOROWIDZ NAZWISK...................... 433SKOROWIDZ ZNAKÓW........................ 434ERRATA..................... 435
LA - pol
UR - http://eudml.org/doc/219312
ER -

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.