On the unitary group associated to an involution of an algebraically closed field

Bruno Deschamps[1]

  • [1] Département de Mathématiques de l’Université du Maine Avenue Olivier Messiaen 72085 Le Mans cedex 9.

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2011)

  • Volume: 23, Issue: 3, page 629-644
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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In this article, we try to see if the topological isomorphism that exists between the group ℝ / ℤ and the unitary group 𝕌 = { z ∈ ℂ / | z | = 1 } can be generalized to some other situations.We show that this isomorphism exists algebraically in all situations : for a given algebraically closed field C and a given involution c of C , the groups 𝕌 ( C , c ) = { z ∈ C / z c ( z ) = 1 } and C < c > / ℤ are isomorphic. We then give an example of an involution c 0 of ℂ which is not conjugated, in the group Aut ( ℂ ) , to the complex conjugacy and such that 𝕌 ( ℂ , c 0 ) is isomorphic as a topological group to ℂ < c 0 > / ℤ .

How to cite

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Deschamps, Bruno. "Sur le groupe unitaire relatif à une involution d’un corps algébriquement clos." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 23.3 (2011): 629-644. <http://eudml.org/doc/219675>.

@article{Deschamps2011,
abstract = {Dans cet article, nous tentons de généraliser à d’autres situations l’isomorphisme de groupes topologiques qui existe entre le groupe $\displaystyle \{\mathbb\{R\}\}/\{\mathbb\{Z\}\}$ et le groupe unitaire $\{\mathbb\{U\}\}=\lbrace z\in \{\mathbb\{C\}\}/\ |z|=1\rbrace $.Nous montrons que cet isomorphisme existe algébriquement en toute généralité : pour tout corps algébriquement clos $C$ et toute involution $c$ de $C$ les groupes $\{\mathbb\{U\}\}(C,c)=\lbrace z\in C/\ zc(z)=1\rbrace $ et $\displaystyle C^\{&lt;c&gt;\}/\{\mathbb\{Z\}\}$ sont isomorphes. Nous donnons ensuite un exemple d’involution $c_0$ de $\mathbb\{C\}$ qui n’est pas conjuguée, dans le groupe $\hbox\{\rm Aut\}(\{\mathbb\{C\}\})$, à la conjugaison complexe et telle que $\{\mathbb\{U\}\}(\{\mathbb\{C\}\},c_0)$ soit topologiquement isomorphe à $\displaystyle \{\mathbb\{C\}\}^\{&lt;c_0&gt;\}/\{\mathbb\{Z\}\}$.},
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ER -

References

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  1. B. Deschamps, Problèmes d’arithmétique et de théorie de Galois. Hermann, Paris, 1998. 
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  4. B. Deschamps, Des automorphismes continus d’un corps de séries de Puiseux. Acta Arithmetica CXVIII.3 (2005), 205-229. Zbl1090.12001MR2168764
  5. L. Fuchs, Infinite Abelian Groups. Vol. I, Academic Press, New-York, 1970. Zbl0209.05503MR255673
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  7. P. Ribenboim, L’arithmétique des corps. Hermann, Paris, 1972. Zbl0253.12101MR330093
  8. J.-P. Serre, Corps locaux (4ème édition). Hermann, Paris, 1997. MR354618

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