Polynomial bound for the number of rational points on curves

Gaël Rémond[1]

  • [1] Institut Fourier, UMR 5582 BP 74 38402 Saint-Martin-d’Hères Cedex, France

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2011)

  • Volume: 23, Issue: 1, page 251-255
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Let F be a polynomial in two variables with integer coefficients, D its degree and M ≥ 3 an upper bound for the absolute value of its coefficients. Then the number of rational zeroes of F is either infinite or less than M 2 3 D 2 , a polynomial bound in M . We also give a more general statement for number fields. The proof is a variation on an earlier result together with an easy counting lemma for rational points.

How to cite

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Rémond, Gaël. "Borne polynomiale pour le nombre de points rationnels des courbes." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 23.1 (2011): 251-255. <http://eudml.org/doc/219697>.

@article{Rémond2011,
abstract = {Soit $F$ un polynôme en deux variables, de degré $D$ et à coefficients entiers dans $[-M,M]$ pour $M\ge 3$. Alors le nombre de zéros rationnels de $F$ est soit infini soit plus petit que $M^\{2^\{3^\{D^2\}\}\}$. Nous montrons aussi une version plus générale sur les corps de nombres.},
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author = {Rémond, Gaël},
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TY - JOUR
AU - Rémond, Gaël
TI - Borne polynomiale pour le nombre de points rationnels des courbes
JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
DA - 2011/3//
PB - Société Arithmétique de Bordeaux
VL - 23
IS - 1
SP - 251
EP - 255
AB - Soit $F$ un polynôme en deux variables, de degré $D$ et à coefficients entiers dans $[-M,M]$ pour $M\ge 3$. Alors le nombre de zéros rationnels de $F$ est soit infini soit plus petit que $M^{2^{3^{D^2}}}$. Nous montrons aussi une version plus générale sur les corps de nombres.
LA - fre
KW - Curves over number fields; number of rational points
UR - http://eudml.org/doc/219697
ER -

References

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  1. S. David et P. Philippon, Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés de variétés abéliennes. Comment. Math. Helv. 77 (2002), 639–700. Zbl1030.11026MR1949109
  2. G. Rémond, Décompte dans une conjecture de Lang. Invent. math. 142 (2000), 513–545. Zbl0972.11054MR1804159
  3. G. Rémond, Nombre de points rationnels des courbes. Proc. London Math. Soc. 101 (2010), 759–794. Zbl1210.11073MR2734960

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