Polarities defined by a triangle

Benoît Kloeckner[1]

  • [1] UJF-Grenoble 1, Institut Fourier, Grenoble, F-38041, France CNRS UMR 5582, Institut Fourier, Grenoble, F-38402, France

Séminaire de théorie spectrale et géométrie (2010-2011)

  • Volume: 29, page 51-71
  • ISSN: 1624-5458

Abstract

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A polarity of a projective plane is a map, often involutive, sending a generic point to a generic line and vice versa. The most classical polarity is the polarity with respect to a conic section, but others exists: the harmonic polarity with respect to a triangle, the polarities with respect to a higher degree algebraic curve, the polarity with respect to a convex.In this article we introduce a polarity with respect to a triangle of the projective plane which is motivated by a question on duality of projective frames. We show that the four polarities above that apply to a triangle all coincide in this case. This result is an occasion to revue nice concepts in projective geometry, linear algebra and convex geometry.

How to cite

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Kloeckner, Benoît. "Polarités définies par un triangle." Séminaire de théorie spectrale et géométrie 29 (2010-2011): 51-71. <http://eudml.org/doc/219849>.

@article{Kloeckner2010-2011,
abstract = {Une polarité d’un plan projectif est une application, souvent involutive, envoyant un point générique sur une droite générique et réciproquement. La polarité la plus classique est la polarité par rapport à une conique, mais d’autres existent : la polarité harmonique par rapport à un triangle, les polarités par rapport à une courbe algébrique de degré supérieur, la polarité par rapport à un convexe.Dans cet article nous introduisons une notion de polarité par rapport à un triangle du plan projectif, motivée par une question sur la dualité des repères projectifs. Nous montrons que les quatre polarités évoquées qui peuvent s’appliquer à un triangle coïncident dans ce cas. Ce résultat fournit un prétexte à passer en revue de jolis concepts de géométrie projective, d’algèbre linéaire et de géométrie convexe.},
affiliation = {UJF-Grenoble 1, Institut Fourier, Grenoble, F-38041, France CNRS UMR 5582, Institut Fourier, Grenoble, F-38402, France},
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journal = {Séminaire de théorie spectrale et géométrie},
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publisher = {Institut Fourier},
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TY - JOUR
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PY - 2010-2011
PB - Institut Fourier
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AB - Une polarité d’un plan projectif est une application, souvent involutive, envoyant un point générique sur une droite générique et réciproquement. La polarité la plus classique est la polarité par rapport à une conique, mais d’autres existent : la polarité harmonique par rapport à un triangle, les polarités par rapport à une courbe algébrique de degré supérieur, la polarité par rapport à un convexe.Dans cet article nous introduisons une notion de polarité par rapport à un triangle du plan projectif, motivée par une question sur la dualité des repères projectifs. Nous montrons que les quatre polarités évoquées qui peuvent s’appliquer à un triangle coïncident dans ce cas. Ce résultat fournit un prétexte à passer en revue de jolis concepts de géométrie projective, d’algèbre linéaire et de géométrie convexe.
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UR - http://eudml.org/doc/219849
ER -

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