Nombres de Bell et somme de factorielles

Daniel Barsky[1]; Bénali Benzaghou[2]

  • [1] Université Paris 13 Institut Galilée LAGA, URA CNRS n ∘ 742 Av J.-B. Clément F-93430 VILLETANEUSE, France
  • [2] USTHB Faculté de Mathématiques El Alia BP 32 Bab Ezzouar 1611 ALGER, Algérie

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2004)

  • Volume: 16, Issue: 1, page 1-17
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Dj. Kurepa has conjectured that for any odd prime number p , the sum ∑ n = 0 p - 1 n ! is not divisible by p . This sum is related to the Bell numbers that occur in enumerative combinatorics. We give a formula for the n -th Bell number modulo p as the trace of the n -th power of a fixed element in the Artin-Schreier extension of degree p of the field with p elements. This formula allows us to prove the Kurepa’s conjecture by reducing it to a linear algebra problem.

How to cite

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Barsky, Daniel, and Benzaghou, Bénali. "Nombres de Bell et somme de factorielles." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 16.1 (2004): 1-17. <http://eudml.org/doc/249279>.

@article{Barsky2004,
abstract = {Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre premier impair, $p$, la somme $\sum _\{n=0\}^\{p-1\}n!$ n’est pas divisible par $p$. Cette somme est reliée aux nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative. Nous donnons une expression du $n$-ième nombre de Bell modulo $p$ comme la trace de la puissance $n$-ième d’un élément fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degré $p$ du corps premier à $p$ éléments. Cette expression permet de démontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant à un problème d’algèbre linéaire.},
affiliation = {Université Paris 13 Institut Galilée LAGA, URA CNRS n ∘ 742 Av J.-B. Clément F-93430 VILLETANEUSE, France; USTHB Faculté de Mathématiques El Alia BP 32 Bab Ezzouar 1611 ALGER, Algérie},
author = {Barsky, Daniel, Benzaghou, Bénali},
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ER -

References

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  3. L. Comtet, Analyse Combinatoire. PUF, Collection Sup le mathématicien, Paris, 1970. Zbl0221.05001
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  7. Dj. Kurepa, On the left factorial function ! n . Math. Balkanica vol. 1 (1971), 147–153. Zbl0224.10009MR286736
  8. R. Lidl & H. Niederreiter, Introduction to finite fields and their applications. Revision of the 1986 first edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. Zbl0629.12016MR1294139
  9. Ch. Radoux, Nombres de Bell modulo p premier et extensions de degré p de 𝔽 p . C. R. Acad. Sc. Paris, série A, 281, séance du 24 novembre 1975, 879–882. Zbl0327.10012MR409346
  10. A. Robert, A course in p -adic Analysis. G.T.M. 198, Springer-Verlag, 2000. Zbl0947.11035MR1760253

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