Turbulence de Burgers en 1D : un cas modèle pour la théorie de Kolmogorov

Alexandre Boritchev[1]

  • [1] CMLS Ecole Polytechnique 91128 Palaiseau Cedex France

Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications (2011-2012)

  • page 1-13
  • ISSN: 2266-0607

Abstract

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Nous nous intéressons ici à la turbulence de Burgers 1D, ou « Burgulence ». Nous présentons des résultats valables pour l’équation de Burgers généralisée périodique stochastique 1D : u t + f ' ( u ) u x = ν u x x + η , t ≥ 0 , x ∈ S 1 = ℝ / ℤ , où η ( t , x ) est une force de type bruit blanc en t et lisse en x . Plus précisément, nous estimons les normes de Sobolev et les quantités à petite échelle analogues à celles qui sont intéressantes pour l’étude de la turbulence hydrodynamique, telles que les incréments et le spectre d’énergie. Les résultats exposés ici se trouvent dans l’article [7].

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Boritchev, Alexandre. "Turbulence de Burgers en 1D : un cas modèle pour la théorie de Kolmogorov." Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications (2011-2012): 1-13. <http://eudml.org/doc/251168>.

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References

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  1. E. Aurell, U. Frisch, J. Lutsko, M. Vergassola, On the multifractal properties of the energy dissipation derived from turbulence data, Journal of Fluid Mechanics 238, 1992, 467-486. Zbl0761.76027MR1166090
  2. G. Batchelor, The theory of homogeneous turbulence, Cambridge University Press, 1953. Zbl0522.76051MR52268
  3. J. Bec, U. Frisch, “Burgulence”, Les Houches 2000 : New Trends in Turbulence ; M. Lesieur, A.Yaglom and F. David, eds., 341-383, Springer EDP-Sciences, 2001. Zbl1309.76114MR1999766
  4. J. Bec, K. Khanin, Burgers turbulence, Physics Reports 447 (2007), 1-66. MR2318582
  5. A. Biryuk, Spectral properties of solutions of the Burgers equation with small dissipation, Functional Analysis and its Applications, 35 :1 (2001), 1-12. Zbl1032.35154MR1840744
  6. A. Boritchev, Estimates for solutions of a low-viscosity kick-forced generalised Burgers equation, Prépublication (à paraître dans Proceedings of the Royal Society of Edinburgh A), arXiv :1107.4866v1. Zbl1307.35252
  7. A. Boritchev, Sharp estimates for turbulence in white-forced generalised Burgers equation, Prépublication, arXiv :1201.5567. Zbl1283.35074
  8. A. Boritchev, Note on Turbulence in a Generalised Burgers Equation, Prépublication disponible sur www.math.polytechnique.fr/ ∼ boritchev/ DeterministicBurgers.pdf. 
  9. J. D. Cole, On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics, Quarterly of Applied Mathematics, 1951 (9), 225-236. Zbl0043.09902MR42889
  10. G. Da Prato, J. Zabczyk, Stochastic equations in infinite dimensions, Encyclopaedia of Mathematics and its Applications vol. 45, Cambridge University Press, 1992. Zbl1140.60034MR1207136
  11. Weinan E, K. Khanin, A. Mazel, Ya. Sinai, Invariant measures for Burgers equation with stochastic forcing, Annals of Mathematics 151 (2000), 877-960. Zbl0972.35196MR1779561
  12. U. Frisch, Turbulence : the legacy of A.N. Kolmogorov, Cambridge University Press, 1995. Zbl0832.76001MR1428905
  13. T. Gotoh, R. Kraichnan, Steady-state Burgers turbulence with large-scale forcing, Physics of Fluids 10 (1998), 2859-2866. Zbl1185.76755MR1650782
  14. E. Hopf, The partial differential equation u t + u u x = μ u x x , Communications in Pure and Applied Mathematics, 1950, 3 :3, 201-230. Zbl0039.10403MR47234
  15. S. Kida, Asymptotic properties of Burgers turbulence, Journal of Fluid Mechanics, 93 (1979), no.2, 337-377. Zbl0436.76031MR544560
  16. A. Kolmogorov, The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds number, Doklady Akademii Nauk SSSR 30 (1941), 9-13 (reprinted in Proceedings of the Royal Society of London A 434 (1991), 9-13). Zbl1142.76389MR1124922
  17. A. Kolmogorov, On degeneration (decay) of isotropic turbulence in an incompressible viscous liquid, Doklady Akademii Nauk SSSR 31 (1941), 538-540. Zbl0026.17001MR4568
  18. A. Kolmogorov, Dissipation of energy in locally isotropic turbulence, Doklady Akademii Nauk SSSR 32 (1941), 16-18 (reprinted in Proceedings of the Royal Society of London A 434 (1991), 15-17). Zbl0063.03292MR1124923
  19. A. Kolmogorov, A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds number, Journal of Fluid Mechanics, 13 (1962), 82-85. Zbl0112.42003MR139329
  20. R. H. Kraichnan, Lagrangian-history statistical theory for Burgers’ equation, Physics of Fluids 11(2), 1968, 265-277. Zbl0153.57502
  21. S. N. Kruzhkov, The Cauchy Problem in the large for nonlinear equations and for certain quasilinear systems of the first-order with several variables, Soviet Math. Doklady, 5 (1964), 493-496. Zbl0138.34702
  22. S. Kuksin, On turbulence in nonlinear Schrödinger equations, Geometric and Functional Analysis, 1997, vol. 7, 783-822. Zbl0912.35143MR1465602
  23. S. Kuksin, Spectral properties of solutions for nonlinear PDEs in the turbulent regime, Geometric and Functional Analysis, 1999, vol. 9, 141-184. Zbl0929.35145MR1675893
  24. A. Obukhov, On the distribution of energy in the spectrum of turbulent flow, Doklady Akademii Nauk SSSR, 32 (1), 22-24, 1941. 
  25. A. Obukhov, Spectral energy distribution in a turbulent flow, Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Seriya Geografii i Geofiziki, 5 (4-5), 453-466, 1941. 
  26. G. Parisi, U. Frisch, Fully developed turbulence and intermittency, Proceedings of the International School on Turbulence and Predictability in Geophysical Fluid Dynamics and Climate Dynamics, ed. M. Ghil, R.Benzi, G. Parisi, 1985, 71-88, Amsterdam : North-Holland. 
  27. S. Shandarin, Ya. Zeldovich, The large-scale structure of the universe : turbulence, intermittency, structures in a self-gravitating medium, Reviews of Modern Physics, 61, no. 2, 1989, 185-220. MR989562
  28. A. Tsinober, An informal conceptual introduction to turbulence, Fluid Mechanics and its Applications, Springer, 2009. Zbl1177.76001MR2723330

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