Fundamental lemma and endoscopy, a geometric approach

Jean-François Dat

Séminaire Bourbaki (2004-2005)

  • Volume: 47, page 71-112
  • ISSN: 0303-1179

Abstract

top
The “principle of functoriality”, as conjectured by Langlands by the late sixties, is a very suggestive way to express the deep links between automorphic forms, arithmetic and algebraic geometry. Despite its rather simple formulation, the few techniques which are used to try and solve it are quite involved. One of them, based on the trace formula has been faced for 25 years with a conjecture of harmonical analysis on p -adic groups: the “fundamental lemma”. We will survey a recent geometric approach by Laumon and Ngô, which has already lead to a proof of this “lemma”for unitary groups.

How to cite

top

Dat, Jean-François. "Lemme fondamental et endoscopie, une approche géométrique." Séminaire Bourbaki 47 (2004-2005): 71-112. <http://eudml.org/doc/252153>.

@article{Dat2004-2005,
abstract = {Le “principe de fonctorialité”, conjecturé par Langlands à la fin des années 60, est un moyen remarquablement synthétique d’unifier et exprimer certains liens profonds entre formes automorphes, arithmétique et géométrie algébrique. Son apparente simplicité contraste fortement avec la difficulté des techniques utilisées pour l’aborder. Parmi celles-ci, la stabilisation de la formule des traces d’Arthur–Selberg bute depuis 25 ans sur une conjecture d’analyse harmonique sur des groupes $p$-adiques : le “lemme fondamental”. Nous présenterons une approche géométrique de ce “lemme”, par Laumon et Ngô, qui les a déjà conduits à une preuve dans le cas des groupes unitaires.},
author = {Dat, Jean-François},
journal = {Séminaire Bourbaki},
keywords = {automorphic; trace formula; endoscopy; fundamental lemma $G$-torsors; Hitchin pairs},
language = {fre},
pages = {71-112},
publisher = {Association des amis de Nicolas Bourbaki, Société mathématique de France},
title = {Lemme fondamental et endoscopie, une approche géométrique},
url = {http://eudml.org/doc/252153},
volume = {47},
year = {2004-2005},
}

TY - JOUR
AU - Dat, Jean-François
TI - Lemme fondamental et endoscopie, une approche géométrique
JO - Séminaire Bourbaki
PY - 2004-2005
PB - Association des amis de Nicolas Bourbaki, Société mathématique de France
VL - 47
SP - 71
EP - 112
AB - Le “principe de fonctorialité”, conjecturé par Langlands à la fin des années 60, est un moyen remarquablement synthétique d’unifier et exprimer certains liens profonds entre formes automorphes, arithmétique et géométrie algébrique. Son apparente simplicité contraste fortement avec la difficulté des techniques utilisées pour l’aborder. Parmi celles-ci, la stabilisation de la formule des traces d’Arthur–Selberg bute depuis 25 ans sur une conjecture d’analyse harmonique sur des groupes $p$-adiques : le “lemme fondamental”. Nous présenterons une approche géométrique de ce “lemme”, par Laumon et Ngô, qui les a déjà conduits à une preuve dans le cas des groupes unitaires.
LA - fre
KW - automorphic; trace formula; endoscopy; fundamental lemma $G$-torsors; Hitchin pairs
UR - http://eudml.org/doc/252153
ER -

References

top
  1. [1] J. Arthur – “A stable trace formula II : Global descent”, Invent. Math.143 (2001), p. 157–220. Zbl0978.11025MR1802795
  2. [2] —, “A stable trace formula I : General expansions”, J. Inst. Math. Jussieu 1 (2002), no. 2, p. 175–277. Zbl1040.11038MR1954821
  3. [3] —, “A stable trace formula III : Proof of the main theorems”, Ann. of Math. 158 (2003), no. 3, p. 769–873. Zbl1051.11027MR2031854
  4. [4] A. Beauville, M.S. Narasimhan & S. Ramanan – “Spectral curve and the generalized Theta divisor”, J. reine angew. Math. 398 (1989), p. 169–179. Zbl0666.14015MR998478
  5. [5] J. Bernstein, A. Beilinson & P. Deligne – Analyse et topologie sur les espaces singuliers (I : Faisceaux Pervers), Astérisque, vol. 100, Paris, 1982. Zbl0536.14011MR751966
  6. [6] I. Biswas & S. Ramanan – “Infinitesimal study of Hitchin pairs”, J. London Math. Soc. (2) 49 (1994), p. 219–231. Zbl0819.58007MR1260109
  7. [7] A. Borel – “Automorphic L -functions”, in Automorphic forms, representations and L -functions (Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, Proc. Symp. Pure Math., vol. 33, Providence, RI, 1979, p. 27–63. Zbl0412.10017MR546608
  8. [8] A. Borel & H. Jacquet – “Automorphic forms and automorphic representations”, in Automorphic forms, representations and L -functions (Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 1, Proc. Symp. Pure Math., vol. 33, Providence, RI, 1979, p. 189–202. Zbl0414.22020MR546598
  9. [9] L. Breen – On the classification of 2 -gerbes and 2 -stacks, Astérisque, vol. 225, Paris, 1994. Zbl0818.18005MR1301844
  10. [10] G. Faltings – “Stable G -bundles and projective connections”, 2 (1993), p. 507–568. Zbl0790.14019MR1211997
  11. [11] M. Goresky, R. Kottwitz & R. Macpherson – “Homology of affine Springer fibers in the unramified case”, Duke Math. J.121 (2004), p. 509–561. Zbl1162.14311MR2040285
  12. [12] T.C. Hales – “A simple definition of transfer factors for unramified groups”, in Representation theory of groups and algebras, Contemp. Math, vol. 145, Providence, RI, 1993, p. 109–134. Zbl0828.22015MR1216184
  13. [13] —, “On the fundamental lemma for standard endoscopy : reduction to unit elements”, Canad. J. Math.47 (1995), p. 974–994. Zbl0840.22032MR1350645
  14. [14] —, “A statement of the fundamental lemma”, arXiv : math.RT/0312227, 2003. MR2192018
  15. [15] N. Hitchin – “Stable bundles and integrable connections”, Duke Math. J.54 (1987), p. 91–11. Zbl0627.14024MR885778
  16. [16] D. Kazhdan & G. Lusztig – “Fixed points varieties on affine flag manifolds”, Israel J. Math.62 (1988), p. 129–168. Zbl0658.22005MR947819
  17. [17] R.E. Kottwitz – “Stable trace formula : Cuspidal tempered terms”, Duke Math. J.51 (1984), p. 611–650. Zbl0576.22020MR757954
  18. [18] —, “Stable trace formula : Elliptic singular terms”, Math. Ann.275 (1986), p. 365–399. Zbl0577.10028MR858284
  19. [19] —, “Tamagawa numbers”, Ann. of Math.127 (1988), p. 629–646. Zbl0678.22012MR942522
  20. [20] —, “Transfer factors for Lie algebras”, 3 (1999), p. 127–138. Zbl1044.22011MR1703328
  21. [21] R.E. Kottwitz & D. Shelstad – Foundations of twisted endoscopy, Astérisque, vol. 225, Paris, 1999. Zbl0958.22013MR1687096
  22. [22] J.-P. Labesse – Cohomologie, stabilisation et changement de base, Astérisque, vol. 257, Paris, 1999. Zbl1024.11034MR1695940
  23. [23] —, “Stable twisted trace formula : elliptic terms”, J. Inst. Math. Jussieu 3 (2004), no. 4, p. 473–530. Zbl1061.11025MR2094449
  24. [24] J.-P. Labesse & R.P. Langlands – “ L -indistinguishability for S L ( 2 ) ”, Canad. J. Math.31 (1979), p. 726–785. Zbl0421.12014MR540902
  25. [25] R.P. Langlands – Les débuts d’une formule des traces stable, Publ. Math. Univ. Paris 7, 1979. Zbl0532.22017MR697567
  26. [26] R.P. Langlands & D. Shelstad – “On the definition of transfer factors”, Math. Ann.278 (1987), p. 219–271. Zbl0644.22005MR909227
  27. [27] —, “Descent for transfer factors”, in The Grothendieck Fetschrift, vol. II, Progress in Math., vol. 87, Birkhäuser, 1990, p. 485–563. Zbl0743.22009MR1106907
  28. [28] G. Laumon – “Sur le lemme fondamental pour les groupes unitaires”, arXiv : math.AG/0212245, 2002. Zbl1179.22019
  29. [29] G. Laumon & L. Moret-Bailly – Champs algébriques, Ergebnisse der Mathematik, Springer, 2000. Zbl0945.14005MR1771927
  30. [30] G. Laumon & B.C. Ngô – “Le lemme fondamental pour les groupes unitaires”, arXiv : math.AG/0404454, 2004. Zbl1179.22019MR2434884
  31. [31] G. Laumon & M. Rapoport – “A geometric approach to the fundamental lemma for unitary groups”, arXiv : math.AG/9711021, 1997. 
  32. [32] B.C. Ngô – “Sur l’endoscopie des groupes orthogonaux et symplectiques et leur fibration de Hitchin”, en préparation. 
  33. [33] —, “Fibration de Hitchin et endoscopie”, arXiv : math.AG/0406599, 2004. Zbl1098.14023
  34. [34] B. Poonen – “Bertini theorems over finite fields”, arXiv : math.AG/0204002, 2002. Zbl1084.14026MR2144974
  35. [35] J.-L. Waldspurger – “Sur les intégrales orbitales tordues des groupes linéaires. Un lemme fondamental”, Canad. J. Math.4 (1991), p. 852–896. Zbl0760.22026MR1127034
  36. [36] —, “Le lemme fondamental implique le transfert”, Compositio Math.105 (1997), p. 153–236. Zbl0871.22005MR1440722
  37. [37] —, Intégrales orbitales nilpotentes et endoscopie pour les groupes non ramifiés, Astérisque, vol. 269, Paris, 2001. Zbl0965.22012
  38. [38] —, “Endoscopie et changement de caractéristique”, Prépublication disponible sur la page http://www.math.jussieu.fr/~waldspur, 2004. 

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.