Théorie des opérations linéaires

Stefan Banach

  • 1932

Abstract

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PRÉFACE............................................................................................... III ERRATA................................................................................................ VIII INTRODUCTION. A. L’intégrale de Lebesgue-Stieltjes § 1. Quelques théorèmes de la théorie de l’intégrale de Lebesgue...................................... 1 § 2. Quelques inégalités pour les fonctions à p-ième puissance sommable............................... 2 § 3. La convergence asymptotique...................................................................... 3 § 4. La convergence en moyenne........................................................................ 4 § 5. L’intégrale de Stieltjes......................................................................... 4 § 6. Le théorème de Lebesgue.......................................................................... 7 B. Ensembles et opération mesurables (B) dans les espaces métriques § 7. Espaces métriques................................................................................ 8 § 8. Ensembles dans les espaces métriques............................................................. 12 § 9. Opérations dans les espaces métriques............................................................ 15 CHAPITRE I. Groupes § 1. Définition des espaces du type (G)............................................................... 20 § 2. Propriétés des sous-groupes...................................................................... 21 § 3. Opérations additives et linéaires................................................................ 23 § 4. Un théorème sur la condensation des singularités................................................. 24 CHAPITRE II. Espaces vectoriels généraux § 1. Définition et propriétés élémentaires des espaces vectoriels..................................... 26 § 2. Extension des fonctionnelles additives et homogènes.............................................. 27 § 3. Applications: généralisation des notions d’intégrale, de mesure et de limite..................... 29 CHAPITRE III. Espaces du type (F) § 1. Définition et préliminaires...................................................................... 35 § 2. Opérations homogènes............................................................................. 36 § 3. Séries d’éléments. Inversion des opérations linéaires............................................ 37 § 4. Fonctions continues sans dérivée................................................................. 43 § 5. La continuité des solutions des équations différentielles aux dérivées partielles................ 44 § 6. Systèmes d’équations linéaires a une infinité d’inconnues........................................ 47 § 7. Applications de l’espace (s)..................................................................... 50 CHAPITRE IV. Espaces normes § 1. Définitions des espaces vectoriels normes et des espaces du type (B)............................. 53 § 2. Propriétés des opérations linéaires. Extension des fonctionnelles linéaires...................... 54 § 3. Ensembles fondamentaux et ensembles totaux d’éléments............................................ 57 § 4. Forme générale des fonctionnelles linéaires dans les espaces (C), (L(r)), (c), (l(r)), (m) et dans les sous-espaces de (m)...................................................... 59 § 5. Suites fermées et complètes dans les espaces (C), (L(r)), (c) et (l(r)).......................... 72 § 6. Approximation des fonctions appartenant a (C) et (L(r)) par des combinaisons linéaires de fonctions................................................................................ 73 § 7. Le problème des moments.......................................................................... 74 § 8. Conditions pour l’existence des solutions de certains systèmes d’équations a une infinité d’inconnues............................................................................ 76 CHAPITRE V. Espaces du type (B) § 1. Opérations linéaires dans les espaces du type (B)................................................ 78 § 2. Principe de condensation des singularités........................................................ 81 § 3. Espaces du type (B) compacts..................................................................... 83 § 4. Une propriété des espaces (L(r)), (c) et (l(r)).................................................. 84 § 5. Espaces du type (B) formes de fonctions mesurables............................................... 86 § 6. Exemples des opérations linéaires dans quelques espaces particuliers du type (B)................. 88 § 7. Quelques théorèmes sur les méthodes de sommation................................................. 90 CHAPITRE VI. Opérations totalement continues et associées § 1. Opérations totalement continues.................................................................. 96 § 2. Exemples des opérations totalement continues dans quelques espaces particuliers.................. 97 § 3. Opérations conjuguées (associées)................................................................ 99 § 4. Applications. Exemples des opérations conjuguées dans quelques espaces particuliers.............. 101 CHAPITRE VII. Sites biorthogonales § 1. Définition et propriétés générales............................................................... 106 § 2. Suites biorthogonales dans quelques espaces particuliers......................................... 108 § 3. Bases dans les espaces du type (B)............................................................... 110 § 4. Quelques applications a la théorie des développements orthogonaux................................ 112 CHAPITRE VIII. Fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) § 1. Préliminaires.................................................................................... 115 § 2. Ensembles régulièrement fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 116 § 3. Ensembles transfiniment fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 118 § 4. Convergence faible des fonctionnelles linéaires.................................................. 122 § 5. Ensembles faiblement fermés de fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) séparables.. 123 § 6. Conditions pour la convergence faible des fonctionnelles linéaires définies dans les espaces (C), (L(p)), (c) et .(l(p)).......................................................... 126 § 7. Compacticité faible d’ensembles bornés dans certains espaces..................................... 130 § 8. Fonctionnelles linéaires faiblement continues définies dans les espaces des fonctionnelles linéaires............................................................................................. 131 CHAPITRE IX. Suites faiblement convergentes d’éléments § 1. Définition. Conditions pour la convergence faible des suites d’éléments.......................... 133 § 2. Convergence faible des suites d’éléments dans les espaces (C), (L(p)), (c) et (l(p))............. 134 § 3. Relation entre la convergence faible et forte dans les espaces (L(P)) et (l(p)) pour p > 1....... 139 § 4. Espaces faiblement complets...................................................................... 140 § 5. Un théorème sur la convergence faible d’éléments................................................. 143 CHAPITRE X. Équations fonctionnelles linéaires § 1. Relations entre les opérations linéaires et les opérations conjuguées avec elles................. 145 § 2. La théorie de Riesz des équations linéaires totalement continues................................. 151 § 3. Valeurs régulières et valeurs propres dans les équations linéaires............................... 157 § 4. Théorèmes de Fredholm dans la théorie des équations linéaires totalement continues............... 159 § 5. Équations intégrales de Fredholm................................................................. 161 § 6, Équations intégrales de Volterra................................................................. 162 § 7. Équations intégrales symétriques................................................................. 163 CHAPITRE XI. Isométrie, équivalence, isomorphie § 1. Isométrie........................................................................................ 165 § 2. Les espaces ( L 2 ) et ( l 2 ) ................................................................... 165 § 3. Transformations isométriques des espaces vectoriels normés....................................... 166 § 4. Espace des fonctions réelles continues........................................................... 168 § 5. Rotations........................................................................................ 173 § 6. Isomorphie et équivalence........................................................................ 180 § 7. Produits des espaces du type (B)................................................................. 181 § 8. Espace (C) comme l’espace universel.............................................................. 185 § 9. Espaces conjugués................................................................................ 188 CHAPITRE XII. Dimension linéaire. § 1. Définitions....................................................................................... 193 § 2. Dimension linéaire des espaces (c) et (l(p)) ou p ≥ 1............................................. 194 § 3. Dimension linéaire des espaces (L(p)) et (l(p)) ou p > l.......................................... 197 ANNEXE. Convergence faible dans les espaces du type (B). § 1. Les dérives faibles des ensembles de fonctionnelles linéaires..................................... 208 § 2. Convergence faible des éléments................................................................... 217 REMARQUES.............................................................................................. 226

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Stefan Banach. Théorie des opérations linéaires. 1932. <http://eudml.org/doc/268537>.

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Espaces métriques................................................................................ 8 § 8. Ensembles dans les espaces métriques............................................................. 12 § 9. Opérations dans les espaces métriques............................................................ 15 CHAPITRE I. Groupes § 1. Définition des espaces du type (G)............................................................... 20 § 2. Propriétés des sous-groupes...................................................................... 21 § 3. Opérations additives et linéaires................................................................ 23 § 4. Un théorème sur la condensation des singularités................................................. 24 CHAPITRE II. Espaces vectoriels généraux § 1. Définition et propriétés élémentaires des espaces vectoriels..................................... 26 § 2. Extension des fonctionnelles additives et homogènes.............................................. 27 § 3. Applications: généralisation des notions d’intégrale, de mesure et de limite..................... 29 CHAPITRE III. Espaces du type (F) § 1. Définition et préliminaires...................................................................... 35 § 2. Opérations homogènes............................................................................. 36 § 3. Séries d’éléments. Inversion des opérations linéaires............................................ 37 § 4. Fonctions continues sans dérivée................................................................. 43 § 5. La continuité des solutions des équations différentielles aux dérivées partielles................ 44 § 6. Systèmes d’équations linéaires a une infinité d’inconnues........................................ 47 § 7. Applications de l’espace (s)..................................................................... 50 CHAPITRE IV. Espaces normes § 1. Définitions des espaces vectoriels normes et des espaces du type (B)............................. 53 § 2. Propriétés des opérations linéaires. Extension des fonctionnelles linéaires...................... 54 § 3. Ensembles fondamentaux et ensembles totaux d’éléments............................................ 57 § 4. Forme générale des fonctionnelles linéaires dans les espaces (C), (L(r)), (c), (l(r)), (m) et dans les sous-espaces de (m)...................................................... 59 § 5. Suites fermées et complètes dans les espaces (C), (L(r)), (c) et (l(r)).......................... 72 § 6. Approximation des fonctions appartenant a (C) et (L(r)) par des combinaisons linéaires de fonctions................................................................................ 73 § 7. Le problème des moments.......................................................................... 74 § 8. Conditions pour l’existence des solutions de certains systèmes d’équations a une infinité d’inconnues............................................................................ 76 CHAPITRE V. Espaces du type (B) § 1. Opérations linéaires dans les espaces du type (B)................................................ 78 § 2. Principe de condensation des singularités........................................................ 81 § 3. Espaces du type (B) compacts..................................................................... 83 § 4. Une propriété des espaces (L(r)), (c) et (l(r)).................................................. 84 § 5. Espaces du type (B) formes de fonctions mesurables............................................... 86 § 6. Exemples des opérations linéaires dans quelques espaces particuliers du type (B)................. 88 § 7. Quelques théorèmes sur les méthodes de sommation................................................. 90 CHAPITRE VI. Opérations totalement continues et associées § 1. Opérations totalement continues.................................................................. 96 § 2. Exemples des opérations totalement continues dans quelques espaces particuliers.................. 97 § 3. Opérations conjuguées (associées)................................................................ 99 § 4. Applications. Exemples des opérations conjuguées dans quelques espaces particuliers.............. 101 CHAPITRE VII. Sites biorthogonales § 1. Définition et propriétés générales............................................................... 106 § 2. Suites biorthogonales dans quelques espaces particuliers......................................... 108 § 3. Bases dans les espaces du type (B)............................................................... 110 § 4. Quelques applications a la théorie des développements orthogonaux................................ 112 CHAPITRE VIII. Fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) § 1. Préliminaires.................................................................................... 115 § 2. Ensembles régulièrement fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 116 § 3. Ensembles transfiniment fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 118 § 4. Convergence faible des fonctionnelles linéaires.................................................. 122 § 5. Ensembles faiblement fermés de fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) séparables.. 123 § 6. Conditions pour la convergence faible des fonctionnelles linéaires définies dans les espaces (C), (L(p)), (c) et .(l(p)).......................................................... 126 § 7. Compacticité faible d’ensembles bornés dans certains espaces..................................... 130 § 8. Fonctionnelles linéaires faiblement continues définies dans les espaces des fonctionnelles linéaires............................................................................................. 131 CHAPITRE IX. Suites faiblement convergentes d’éléments § 1. Définition. Conditions pour la convergence faible des suites d’éléments.......................... 133 § 2. Convergence faible des suites d’éléments dans les espaces (C), (L(p)), (c) et (l(p))............. 134 § 3. Relation entre la convergence faible et forte dans les espaces (L(P)) et (l(p)) pour p > 1....... 139 § 4. Espaces faiblement complets...................................................................... 140 § 5. Un théorème sur la convergence faible d’éléments................................................. 143 CHAPITRE X. Équations fonctionnelles linéaires § 1. Relations entre les opérations linéaires et les opérations conjuguées avec elles................. 145 § 2. La théorie de Riesz des équations linéaires totalement continues................................. 151 § 3. Valeurs régulières et valeurs propres dans les équations linéaires............................... 157 § 4. Théorèmes de Fredholm dans la théorie des équations linéaires totalement continues............... 159 § 5. Équations intégrales de Fredholm................................................................. 161 § 6, Équations intégrales de Volterra................................................................. 162 § 7. Équations intégrales symétriques................................................................. 163 CHAPITRE XI. Isométrie, équivalence, isomorphie § 1. Isométrie........................................................................................ 165 § 2. Les espaces $(L^2)$ et $(l^2)$................................................................... 165 § 3. Transformations isométriques des espaces vectoriels normés....................................... 166 § 4. Espace des fonctions réelles continues........................................................... 168 § 5. Rotations........................................................................................ 173 § 6. Isomorphie et équivalence........................................................................ 180 § 7. Produits des espaces du type (B)................................................................. 181 § 8. Espace (C) comme l’espace universel.............................................................. 185 § 9. Espaces conjugués................................................................................ 188 CHAPITRE XII. Dimension linéaire. § 1. Définitions....................................................................................... 193 § 2. Dimension linéaire des espaces (c) et (l(p)) ou p ≥ 1............................................. 194 § 3. Dimension linéaire des espaces (L(p)) et (l(p)) ou p > l.......................................... 197 ANNEXE. Convergence faible dans les espaces du type (B). § 1. Les dérives faibles des ensembles de fonctionnelles linéaires..................................... 208 § 2. Convergence faible des éléments................................................................... 217 REMARQUES.............................................................................................. 226},
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Espaces métriques................................................................................ 8 § 8. Ensembles dans les espaces métriques............................................................. 12 § 9. Opérations dans les espaces métriques............................................................ 15 CHAPITRE I. Groupes § 1. Définition des espaces du type (G)............................................................... 20 § 2. Propriétés des sous-groupes...................................................................... 21 § 3. Opérations additives et linéaires................................................................ 23 § 4. Un théorème sur la condensation des singularités................................................. 24 CHAPITRE II. Espaces vectoriels généraux § 1. Définition et propriétés élémentaires des espaces vectoriels..................................... 26 § 2. Extension des fonctionnelles additives et homogènes.............................................. 27 § 3. Applications: généralisation des notions d’intégrale, de mesure et de limite..................... 29 CHAPITRE III. Espaces du type (F) § 1. Définition et préliminaires...................................................................... 35 § 2. Opérations homogènes............................................................................. 36 § 3. Séries d’éléments. Inversion des opérations linéaires............................................ 37 § 4. Fonctions continues sans dérivée................................................................. 43 § 5. La continuité des solutions des équations différentielles aux dérivées partielles................ 44 § 6. Systèmes d’équations linéaires a une infinité d’inconnues........................................ 47 § 7. Applications de l’espace (s)..................................................................... 50 CHAPITRE IV. Espaces normes § 1. Définitions des espaces vectoriels normes et des espaces du type (B)............................. 53 § 2. Propriétés des opérations linéaires. Extension des fonctionnelles linéaires...................... 54 § 3. Ensembles fondamentaux et ensembles totaux d’éléments............................................ 57 § 4. Forme générale des fonctionnelles linéaires dans les espaces (C), (L(r)), (c), (l(r)), (m) et dans les sous-espaces de (m)...................................................... 59 § 5. Suites fermées et complètes dans les espaces (C), (L(r)), (c) et (l(r)).......................... 72 § 6. Approximation des fonctions appartenant a (C) et (L(r)) par des combinaisons linéaires de fonctions................................................................................ 73 § 7. Le problème des moments.......................................................................... 74 § 8. Conditions pour l’existence des solutions de certains systèmes d’équations a une infinité d’inconnues............................................................................ 76 CHAPITRE V. Espaces du type (B) § 1. Opérations linéaires dans les espaces du type (B)................................................ 78 § 2. Principe de condensation des singularités........................................................ 81 § 3. Espaces du type (B) compacts..................................................................... 83 § 4. Une propriété des espaces (L(r)), (c) et (l(r)).................................................. 84 § 5. Espaces du type (B) formes de fonctions mesurables............................................... 86 § 6. Exemples des opérations linéaires dans quelques espaces particuliers du type (B)................. 88 § 7. Quelques théorèmes sur les méthodes de sommation................................................. 90 CHAPITRE VI. Opérations totalement continues et associées § 1. Opérations totalement continues.................................................................. 96 § 2. Exemples des opérations totalement continues dans quelques espaces particuliers.................. 97 § 3. Opérations conjuguées (associées)................................................................ 99 § 4. Applications. Exemples des opérations conjuguées dans quelques espaces particuliers.............. 101 CHAPITRE VII. Sites biorthogonales § 1. Définition et propriétés générales............................................................... 106 § 2. Suites biorthogonales dans quelques espaces particuliers......................................... 108 § 3. Bases dans les espaces du type (B)............................................................... 110 § 4. Quelques applications a la théorie des développements orthogonaux................................ 112 CHAPITRE VIII. Fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) § 1. Préliminaires.................................................................................... 115 § 2. Ensembles régulièrement fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 116 § 3. Ensembles transfiniment fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 118 § 4. Convergence faible des fonctionnelles linéaires.................................................. 122 § 5. Ensembles faiblement fermés de fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) séparables.. 123 § 6. Conditions pour la convergence faible des fonctionnelles linéaires définies dans les espaces (C), (L(p)), (c) et .(l(p)).......................................................... 126 § 7. Compacticité faible d’ensembles bornés dans certains espaces..................................... 130 § 8. Fonctionnelles linéaires faiblement continues définies dans les espaces des fonctionnelles linéaires............................................................................................. 131 CHAPITRE IX. Suites faiblement convergentes d’éléments § 1. Définition. Conditions pour la convergence faible des suites d’éléments.......................... 133 § 2. Convergence faible des suites d’éléments dans les espaces (C), (L(p)), (c) et (l(p))............. 134 § 3. Relation entre la convergence faible et forte dans les espaces (L(P)) et (l(p)) pour p > 1....... 139 § 4. Espaces faiblement complets...................................................................... 140 § 5. Un théorème sur la convergence faible d’éléments................................................. 143 CHAPITRE X. Équations fonctionnelles linéaires § 1. Relations entre les opérations linéaires et les opérations conjuguées avec elles................. 145 § 2. La théorie de Riesz des équations linéaires totalement continues................................. 151 § 3. Valeurs régulières et valeurs propres dans les équations linéaires............................... 157 § 4. Théorèmes de Fredholm dans la théorie des équations linéaires totalement continues............... 159 § 5. Équations intégrales de Fredholm................................................................. 161 § 6, Équations intégrales de Volterra................................................................. 162 § 7. Équations intégrales symétriques................................................................. 163 CHAPITRE XI. Isométrie, équivalence, isomorphie § 1. Isométrie........................................................................................ 165 § 2. Les espaces $(L^2)$ et $(l^2)$................................................................... 165 § 3. Transformations isométriques des espaces vectoriels normés....................................... 166 § 4. Espace des fonctions réelles continues........................................................... 168 § 5. Rotations........................................................................................ 173 § 6. Isomorphie et équivalence........................................................................ 180 § 7. Produits des espaces du type (B)................................................................. 181 § 8. Espace (C) comme l’espace universel.............................................................. 185 § 9. Espaces conjugués................................................................................ 188 CHAPITRE XII. Dimension linéaire. § 1. Définitions....................................................................................... 193 § 2. Dimension linéaire des espaces (c) et (l(p)) ou p ≥ 1............................................. 194 § 3. Dimension linéaire des espaces (L(p)) et (l(p)) ou p > l.......................................... 197 ANNEXE. Convergence faible dans les espaces du type (B). § 1. Les dérives faibles des ensembles de fonctionnelles linéaires..................................... 208 § 2. Convergence faible des éléments................................................................... 217 REMARQUES.............................................................................................. 226
LA - fre
KW - integral equations, etc.
UR - http://eudml.org/doc/268537
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  1. Gustave Choquet, Opérations sur les espaces vectoriels topologiques métrisables
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  3. Gilles Godefroy, Quelques propriétés des espaces de Banach
  4. Bernard Saint-Loup, Fonctions analytiques dans un ouvert connexe du plan
  5. Jean-Marie Exbrayat, Fonctions analytiques dans un ouvert connexe du plan, II
  6. Hana Vaníčková, Jiří Vaníček, O prostoru holomorfních funkcí
  7. Félix Cabello Sánchez, A theorem on isotropic spaces
  8. Piotr Antosik, Equivanishing sequences of mappings
  9. Vlastimil Pták, Completeness and the open mapping theorem
  10. A. Fuchs, Étude de la continuité des fonctions aléatoires de Markov

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