About some faces of the generalized Littlewood-Richardson cone

Pierre-Louis Montagard; Nicolas Ressayre

Bulletin de la Société Mathématique de France (2007)

  • Volume: 135, Issue: 3, page 343-365
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Let G ^ be a connected reductive algebraic group and G be a reductive closed and connected subgroup of G ^ both defined over an algebraically closed field of characteristic zero. Let 𝒟 (resp. 𝒟 ^ ) the set of isomorphism classes of irreducible representations of G (resp. G ^ ). We consider the set of elements ( μ , ν ^ ) ∈ ( 𝒟 , 𝒟 ^ ) such that an irreducible G -module of class μ is a submodule of a G ^ -module of class ν ^ . This set generate a polyhedral cone 𝒞 in the rational vector space generated by the product of characters of G and G ^ . By Geometric Invariant Theory methods we give, in particular, a sufficient condition for a linear inequality defining 𝒟 to induce a face of codimension one of 𝒞 . We apply our results to several classical example in representation theory (tensor products and plethysm).

How to cite

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Montagard, Pierre-Louis, and Ressayre, Nicolas. "Sur des faces du cône de Littlewood-Richardson généralisé." Bulletin de la Société Mathématique de France 135.3 (2007): 343-365. <http://eudml.org/doc/272372>.

@article{Montagard2007,
abstract = {Soient $G\subset \hat\{G\}$ deux groupes réductifs connexes définis sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Notons $\mathcal \{D\}$ (resp. $\hat\{\mathcal \{D\}\}$) l’ensemble des classes d’isomorphisme des représentations irréductibles de $G$ (resp. de $\hat\{G\}$). Nous nous intéressons à l’ensemble $\mathcal \{C\}$ des couples $(\mu ,\hat\{\nu \})$ dans $\mathcal \{D\}\times \hat\{\mathcal \{D\}\}$ pour lesquels un $\hat\{G\}$-module de classe $\hat\{\nu \}$ contient un sous-$G$-module de classe $\mu $. Il est bien connu que $\mathcal \{C\}$ engendre un cône polyédral dans l’espace vectoriel rationnel engendré par le produit du groupe des caractères de $G$ avec le groupe des caractères de $\hat\{G\}$. Par des méthodes de théorie géométrique des invariants nous étudions sous quelles conditions une inégalité linéaire définissant $\mathcal \{D\}$ induit une face de codimension un du cône engendré par $\mathcal \{C\}$. Nous appliquons ces résultats à des exemples classiques de problèmes de décompositions de représentations (produit tensoriel et pléthysme).},
author = {Montagard, Pierre-Louis, Ressayre, Nicolas},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {representation theory; decomposition; Littlewood-Richardson cone; tensor products; plethysm},
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pages = {343-365},
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title = {Sur des faces du cône de Littlewood-Richardson généralisé},
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TY - JOUR
AU - Montagard, Pierre-Louis
AU - Ressayre, Nicolas
TI - Sur des faces du cône de Littlewood-Richardson généralisé
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2007
PB - Société mathématique de France
VL - 135
IS - 3
SP - 343
EP - 365
AB - Soient $G\subset \hat{G}$ deux groupes réductifs connexes définis sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Notons $\mathcal {D}$ (resp. $\hat{\mathcal {D}}$) l’ensemble des classes d’isomorphisme des représentations irréductibles de $G$ (resp. de $\hat{G}$). Nous nous intéressons à l’ensemble $\mathcal {C}$ des couples $(\mu ,\hat{\nu })$ dans $\mathcal {D}\times \hat{\mathcal {D}}$ pour lesquels un $\hat{G}$-module de classe $\hat{\nu }$ contient un sous-$G$-module de classe $\mu $. Il est bien connu que $\mathcal {C}$ engendre un cône polyédral dans l’espace vectoriel rationnel engendré par le produit du groupe des caractères de $G$ avec le groupe des caractères de $\hat{G}$. Par des méthodes de théorie géométrique des invariants nous étudions sous quelles conditions une inégalité linéaire définissant $\mathcal {D}$ induit une face de codimension un du cône engendré par $\mathcal {C}$. Nous appliquons ces résultats à des exemples classiques de problèmes de décompositions de représentations (produit tensoriel et pléthysme).
LA - fre
KW - representation theory; decomposition; Littlewood-Richardson cone; tensor products; plethysm
UR - http://eudml.org/doc/272372
ER -

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