Lower bound of the spectrum on hyperbolic 3-manifolds

Pierre Jammes

Bulletin de la Société Mathématique de France (2012)

  • Volume: 140, Issue: 2, page 237-255
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Let M be a compact hyperbolic 3-manifold of diameter d and volume ≤ V . If μ i ( M ) denotes the i -th eigenvalue of the Hodge laplacian acting on coexact 1-forms of M , we prove that μ 1 ( M ) ≥ c d 3 e 2 k d and μ k + 1 ( M ) ≥ c d 2 , where c > 0 depends only on V , and k is the number of connected component of the thin part of M . Moreover, we prove that for any finite volume hyperbolic 3-manifold M ∞ with cusps, there is a sequence M i of compact fillings of M ∞ of diameter d i → + ∞ such that μ 1 ( M i ) ≥ c d i 2 .

How to cite

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Jammes, Pierre. "Minoration du spectre des variétés hyperboliques de dimension 3." Bulletin de la Société Mathématique de France 140.2 (2012): 237-255. <http://eudml.org/doc/272733>.

@article{Jammes2012,
abstract = {Soit $M$ une variété hyperbolique compacte de dimension 3, de diamètre $d$ et de volume $\le V$. Si on note $\mu _i(M)$ la $i$-ième valeur propre du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les 1-formes coexactes de $M$, on montre que $\mu _1(M)\ge \frac\{c\}\{d^3e^\{2kd\}\}$ et $\mu _\{k+1\}(M)\ge \frac\{c\}\{d^2\}$, où $c&gt;0$ est une constante ne dépendant que de $V$, et $k$ est le nombre de composantes connexes de la partie mince de $M$. En outre, on montre que pour toute 3-variété hyperbolique $M_\infty $ de volume fini avec cusps, il existe une suite $M_i$ de remplissages compacts de $M_\infty $, de diamètre $d_i\rightarrow +\infty $ telle que et $\mu _1(M_i)\ge \frac\{c\}\{d_i^2\}$.},
author = {Jammes, Pierre},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {Hodge laplacian; differential forms; hyperbolic manifolds},
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publisher = {Société mathématique de France},
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TY - JOUR
AU - Jammes, Pierre
TI - Minoration du spectre des variétés hyperboliques de dimension 3
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2012
PB - Société mathématique de France
VL - 140
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AB - Soit $M$ une variété hyperbolique compacte de dimension 3, de diamètre $d$ et de volume $\le V$. Si on note $\mu _i(M)$ la $i$-ième valeur propre du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les 1-formes coexactes de $M$, on montre que $\mu _1(M)\ge \frac{c}{d^3e^{2kd}}$ et $\mu _{k+1}(M)\ge \frac{c}{d^2}$, où $c&gt;0$ est une constante ne dépendant que de $V$, et $k$ est le nombre de composantes connexes de la partie mince de $M$. En outre, on montre que pour toute 3-variété hyperbolique $M_\infty $ de volume fini avec cusps, il existe une suite $M_i$ de remplissages compacts de $M_\infty $, de diamètre $d_i\rightarrow +\infty $ telle que et $\mu _1(M_i)\ge \frac{c}{d_i^2}$.
LA - fre
KW - Hodge laplacian; differential forms; hyperbolic manifolds
UR - http://eudml.org/doc/272733
ER -

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