Casoratien et équations aux différences p -adiques

Jean-Paul Bézivin

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2013)

  • Volume: 22, Issue: 3, page 495-523
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

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In this paper, we prove an inequality linking the growth of a generalized casoratian of m p -adic power series to the growth of the ordinary casoratian of these m power series. A consequence is that if the casoratian of m entire p -adic functions is a non zero polynomial, then all these functions are polynomials. As an application, we prove that if a linear difference equation of order t with coefficients in ℂ p [ x ] has t solutions meromorphic in all ℂ p , linearly independant over ℂ p , then the difference equation has t solutions linearly independant over ℂ p , that are rational functions. This is also the case when the linear difference equation has coefficients in ℚ [ x ] , and has for an infinity of prime numbers p , t meromorphic solutions, linearly independant over ℂ p , in a disc of ℂ p with radius strictly greater than 1 .

How to cite

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Bézivin, Jean-Paul. "Casoratien et équations aux différences $p$-adiques." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 22.3 (2013): 495-523. <http://eudml.org/doc/275397>.

@article{Bézivin2013,
abstract = {Dans cet article, nous démontrons une inégalité liant la croissance d’un casoratien généralisé de $m$ séries entières $p$-adique à la croissance du casoratien ordinaire de ces $m$ séries entières. Il en résulte que si le casoratien de $m$ fonctions entières $p$-adiques est un polynôme non nul, alors toutes ces fonctions sont des polynômes. Comme application, nous montrons que si une équation aux différences linéaire d’ordre $t$ à coefficients dans $\mathbb\{C\}_p[x]$ a $t$ solutions méromorphes dans tout $\mathbb\{C\}_p$, linéairement indépendantes sur $\mathbb\{C\}_p$, alors elle a $t$ solutions fractions rationnelles linéairement indépendantes. C’est aussi le cas si l’équation aux différences est à coefficients dans $\mathbb\{Q\}[x]$, et si, pour une infinité de nombres premiers $p$, elle a $t$ solutions méromorphes, linéairement indépendantes sur $\mathbb\{C\}_p$, dans un disque de $\mathbb\{C\}_p$ de rayon strictement supérieur à $1$.},
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TY - JOUR
AU - Bézivin, Jean-Paul
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AB - Dans cet article, nous démontrons une inégalité liant la croissance d’un casoratien généralisé de $m$ séries entières $p$-adique à la croissance du casoratien ordinaire de ces $m$ séries entières. Il en résulte que si le casoratien de $m$ fonctions entières $p$-adiques est un polynôme non nul, alors toutes ces fonctions sont des polynômes. Comme application, nous montrons que si une équation aux différences linéaire d’ordre $t$ à coefficients dans $\mathbb{C}_p[x]$ a $t$ solutions méromorphes dans tout $\mathbb{C}_p$, linéairement indépendantes sur $\mathbb{C}_p$, alors elle a $t$ solutions fractions rationnelles linéairement indépendantes. C’est aussi le cas si l’équation aux différences est à coefficients dans $\mathbb{Q}[x]$, et si, pour une infinité de nombres premiers $p$, elle a $t$ solutions méromorphes, linéairement indépendantes sur $\mathbb{C}_p$, dans un disque de $\mathbb{C}_p$ de rayon strictement supérieur à $1$.
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ER -

References

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