Casoratien et équations aux différences -adiques

Jean-Paul Bézivin

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2013)

  • Volume: 22, Issue: 3, page 495-523
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

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In this paper, we prove an inequality linking the growth of a generalized casoratian of -adic power series to the growth of the ordinary casoratian of these power series. A consequence is that if the casoratian of entire -adic functions is a non zero polynomial, then all these functions are polynomials. As an application, we prove that if a linear difference equation of order with coefficients in has solutions meromorphic in all , linearly independant over , then the difference equation has solutions linearly independant over , that are rational functions. This is also the case when the linear difference equation has coefficients in , and has for an infinity of prime numbers , meromorphic solutions, linearly independant over , in a disc of with radius strictly greater than .

How to cite

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Bézivin, Jean-Paul. "Casoratien et équations aux différences $p$-adiques." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 22.3 (2013): 495-523. <http://eudml.org/doc/275397>.

@article{Bézivin2013,
abstract = {Dans cet article, nous démontrons une inégalité liant la croissance d’un casoratien généralisé de $m$ séries entières $p$-adique à la croissance du casoratien ordinaire de ces $m$ séries entières. Il en résulte que si le casoratien de $m$ fonctions entières $p$-adiques est un polynôme non nul, alors toutes ces fonctions sont des polynômes. Comme application, nous montrons que si une équation aux différences linéaire d’ordre $t$ à coefficients dans $\mathbb\{C\}_p[x]$ a $t$ solutions méromorphes dans tout $\mathbb\{C\}_p$, linéairement indépendantes sur $\mathbb\{C\}_p$, alors elle a $t$ solutions fractions rationnelles linéairement indépendantes. C’est aussi le cas si l’équation aux différences est à coefficients dans $\mathbb\{Q\}[x]$, et si, pour une infinité de nombres premiers $p$, elle a $t$ solutions méromorphes, linéairement indépendantes sur $\mathbb\{C\}_p$, dans un disque de $\mathbb\{C\}_p$ de rayon strictement supérieur à $1$.},
author = {Bézivin, Jean-Paul},
journal = {Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques},
keywords = {Casorati determinant; -adic difference equations; meromorphic solutions},
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title = {Casoratien et équations aux différences $p$-adiques},
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volume = {22},
year = {2013},
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TY - JOUR
AU - Bézivin, Jean-Paul
TI - Casoratien et équations aux différences $p$-adiques
JO - Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques
DA - 2013/6//
PB - Université Paul Sabatier, Toulouse
VL - 22
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AB - Dans cet article, nous démontrons une inégalité liant la croissance d’un casoratien généralisé de $m$ séries entières $p$-adique à la croissance du casoratien ordinaire de ces $m$ séries entières. Il en résulte que si le casoratien de $m$ fonctions entières $p$-adiques est un polynôme non nul, alors toutes ces fonctions sont des polynômes. Comme application, nous montrons que si une équation aux différences linéaire d’ordre $t$ à coefficients dans $\mathbb{C}_p[x]$ a $t$ solutions méromorphes dans tout $\mathbb{C}_p$, linéairement indépendantes sur $\mathbb{C}_p$, alors elle a $t$ solutions fractions rationnelles linéairement indépendantes. C’est aussi le cas si l’équation aux différences est à coefficients dans $\mathbb{Q}[x]$, et si, pour une infinité de nombres premiers $p$, elle a $t$ solutions méromorphes, linéairement indépendantes sur $\mathbb{C}_p$, dans un disque de $\mathbb{C}_p$ de rayon strictement supérieur à $1$.
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ER -

References

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