Courbes multiples primitives et déformations de courbes lisses

Jean-Marc Drézet[1]

  • [1] Institut de Mathématiques de Jussieu, Case 247, 4 place Jussieu, F-75252 Paris, France

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2013)

  • Volume: 22, Issue: 1, page 133-154
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

top
A primitive multiple curve is a Cohen-Macaulay scheme Y over ℂ such that C = Y r e d is a smooth curve, and that Y can be locally embedded in a smooth surface. Let T be a smooth curve and t 0 ∈ T . Let 𝒟 ⟶ T be a flat family of projective smooth irreducible curves, and C = 𝒟 t 0 . Then the n -th infinitesimal neighbourhood of C in 𝒟 is a primitive multiple curve C n of multiplicity n , and the ideal sheaf ℐ C of C in C n is the trivial line bundle on the induced curve C n - 1 of multiplicity n - 1 . Conversely, we prove that every projective primitive multiple curve Y = C n such that ℐ C is the trivial line bundle on C n - 1 can be obtained in this way.

How to cite

top

Drézet, Jean-Marc. "Courbes multiples primitives et déformations de courbes lisses." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 22.1 (2013): 133-154. <http://eudml.org/doc/275409>.

@article{Drézet2013,
abstract = {Une courbe multiple primitive est une variété de Cohen-Macaulay $Y$ telle que $C=Y_\{red\}$ soit une courbe lisse irréductible, et que $Y$ puisse être localement plongée dans une surface lisse. Soient $T$ une courbe lisse et $t_0\in T$. Soient $\{\mathcal\{D\}\}\{\longrightarrow \}T$ une famille plate de courbes lisses irréductibles, et $C=\{\mathcal\{D\}\}_\{t_0\}$. Alors le $n$-ième voisinage infinitésimal de $C$ dans $\{\mathcal\{D\}\}$ est une courbe multiple primitive de multiplicité $n$, et le faisceau d’idéaux $\{\mathcal\{I\}\}_C$ de $C$ dans $C_n$ est le fibré trivial sur la courbe induite $C_\{n-1\}$ de multiplicité $n-1$. Réciproquement, on montre que toute courbe multiple primitive $Y=C_n$ de multiplicité $n$ telle que $\{\mathcal\{I\}\}_C$ soit trivial sur $C_\{n-1\}$ peut être construite de cette façon.},
affiliation = {Institut de Mathématiques de Jussieu, Case 247, 4 place Jussieu, F-75252 Paris, France},
author = {Drézet, Jean-Marc},
journal = {Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques},
keywords = {multiple curve; Cohen Macaulay scheme; flat family of schemes; vector bundle},
language = {fre},
month = {6},
number = {1},
pages = {133-154},
publisher = {Université Paul Sabatier, Toulouse},
title = {Courbes multiples primitives et déformations de courbes lisses},
url = {http://eudml.org/doc/275409},
volume = {22},
year = {2013},
}

TY - JOUR
AU - Drézet, Jean-Marc
TI - Courbes multiples primitives et déformations de courbes lisses
JO - Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques
DA - 2013/6//
PB - Université Paul Sabatier, Toulouse
VL - 22
IS - 1
SP - 133
EP - 154
AB - Une courbe multiple primitive est une variété de Cohen-Macaulay $Y$ telle que $C=Y_{red}$ soit une courbe lisse irréductible, et que $Y$ puisse être localement plongée dans une surface lisse. Soient $T$ une courbe lisse et $t_0\in T$. Soient ${\mathcal{D}}{\longrightarrow }T$ une famille plate de courbes lisses irréductibles, et $C={\mathcal{D}}_{t_0}$. Alors le $n$-ième voisinage infinitésimal de $C$ dans ${\mathcal{D}}$ est une courbe multiple primitive de multiplicité $n$, et le faisceau d’idéaux ${\mathcal{I}}_C$ de $C$ dans $C_n$ est le fibré trivial sur la courbe induite $C_{n-1}$ de multiplicité $n-1$. Réciproquement, on montre que toute courbe multiple primitive $Y=C_n$ de multiplicité $n$ telle que ${\mathcal{I}}_C$ soit trivial sur $C_{n-1}$ peut être construite de cette façon.
LA - fre
KW - multiple curve; Cohen Macaulay scheme; flat family of schemes; vector bundle
UR - http://eudml.org/doc/275409
ER -

References

top
  1. Bănică (C.), Forster (O.).— Multiple structures on space curves. Contemporary Mathematics 58, Proc. of Lefschetz Centennial Conf., AMS,p. 47-64 (1986). Zbl0605.14026
  2. Bayer (D.), Eisenbud (D.).— Ribbons and their canonical embeddings. Trans. of the Amer. Math. Soc. 347, 3, p. 719-756 (1995). Zbl0853.14016MR1273472
  3. Drézet (J.-M.).— Faisceaux cohérents sur les courbes multiples. Collect. Math. 57, 2, p. 121-171 (2006). Zbl1106.14019MR2223850
  4. Drézet (J.-M.).— Paramétrisation des courbes multiples primitives. Adv. in Geom. 7, p. 559-612 (2007). Zbl1135.14017MR2360903
  5. Drézet (J.-M.).— Faisceaux sans torsion et faisceaux quasi localement libres sur les courbes multiples primitives. Mathematische Nachrichten 282, No.7, p. 919-952 (2009). Zbl1171.14010MR2541242
  6. Eisenbud (D.).— D. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. GTM 150, Springer-Verlag (1995) Zbl0819.13001MR1322960
  7. Eisenbud (D.), Green (M.).— Clifford indices of ribbons. Trans. of the Amer. Math. Soc. 347, 3, p. 757-765 (1995). Zbl0854.14016MR1273474
  8. Godement (R.).— Théorie des faisceaux. Actualités scientifiques et industrielles 1252, Hermann, Paris (1964). Zbl0080.16201
  9. González (M.).— Smoothing of ribbons over curves. Journ. für die reine und angew. Math. 591, p. 201-235 (2006). Zbl1094.14016MR2212884
  10. Grothendieck (A.).— Techniques de construction et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert. Sém. Bourbaki, Vol. 6, Exp. No. 221, 249-276, Soc. Math. France, Paris (1995). Zbl0236.14003MR1611822
  11. Hartshorne (R.).— Algebraic geometry. GTM 52, Berlin-Heidelberg-New York : Springer (1977). Zbl0367.14001MR463157
  12. Inaba (M.-A.).— On the moduli of stable sheaves on a reducible projective scheme and examples on a reducible quadric surface. Nagoya Math. J., p. 135-181 (2002). Zbl1056.14014MR1908577
  13. Simpson (C.T.).— Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety I. Publ. Math. IHES 79, p. 47-129 (1994). Zbl0891.14005MR1307297
  14. Teixidor i Bigas.— M. Moduli spaces of vector bundles on reducible curves. Amer. J. of Math. 117, p. 125-139 (1995). Zbl0836.14012MR1314460

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.