Introduzione all'iperdeterminante

Giorgio Ottaviani

La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana (2012)

  • Volume: 5, Issue: 2, page 169-195
  • ISSN: 1972-7356

Abstract

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The hyperdeterminant is one of the natural generalizations of the determinant to ``hypercubic'' matrices, it was introduced by Cayley in 1845. We describe how some properties of the determinant extend to the multidimensional setting. The starting point is the condition for the existence of nontrivial solutions to a square homogeneous linear system, which is given by the vanishing of the determinant. In the multidimensional case, the conditions for the existence of nontrivial solutions to a multilinear system allow to define the boundary format case, where there is a well defined diagonal. From the geometric perspective, the hyperdeterminant is defined through the dual varieties. We study the behaviour of the determinant after swapping two ``slices'' and its multiplicative properties.

How to cite

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Ottaviani, Giorgio. "Introduzione all'iperdeterminante." La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana 5.2 (2012): 169-195. <http://eudml.org/doc/291260>.

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abstract = {L'iperdeterminante è una delle generalizzazioni naturali del determinante per matrici ``cubiche'' a più dimensioni, venne introdotto da Cayley nel 1845. Descriviamo l'estensione di alcune proprietà del determinante al caso di matrici a più dimensioni. Il punto di partenza è la condizione per l'esistenza di soluzioni nonbanali a un sistema lineare omogeneo quadrato, che è data dall'annullarsi del determinante. Nel caso mutidimensionale, le condizioni per l'esistenza di soluzioni nonbanali a un sistema multilineare portano al formato bordo, dove è possibile definire la diagonale. Dal punto di vista geometrico l'iperderminante è definito attraverso il concetto di varietà duale. Studiamo come si comporta l'iperdeterminante attraversolo scambio di due ``fette'' e le sue proprietà moltiplicative.},
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