Disuguaglianze isoperimetriche per i triangoli

Claudio Baiocchi

Rendiconto dell’Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche (2018)

  • Volume: 85, Issue: 1, page 173-176
  • ISSN: 0370-3568

Abstract

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The well known isoperimetric inequality says that for any triangle A B C the semiperimeter p and the surface S satisfy: p 2 3 3 * S with equality if and only if A B C is equilateral; in other words, among all triangles with prescribed area, the equilateral one has perimeter minimum. We want to get a more precise inequality, concerning the family of triangles having a prescribed angle α ; we will prove: p 2 2 ( 1 + sin α 2 ) 2 sin α * S with equality if and only α is the angle opposite to the base of an isosceles triangle.

How to cite

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Baiocchi, Claudio. "Disuguaglianze isoperimetriche per i triangoli." Rendiconto dell’Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche 85.1 (2018): 173-176. <http://eudml.org/doc/296737>.

@article{Baiocchi2018,
abstract = {Il semiperimetro $p$ di un triangolo $ABC$ e la misura $S$ della sua superficie sono legati dalla disuguaglianza: \begin\{equation*\} p^\{2\} \geq 3\sqrt\{3\}*S \end\{equation*\} e l’uguaglianza vale se e solo se il triangolo è equilatero. Si tratta della ben nota disuguaglianza isoperimetrica la quale assicura che, tra tutti i triangoli di area assegnata, quello equilatero ha il perimetro minimo. Ci proponiamo di ottenere una disuguaglianza più precisa valida per la famiglia dei triangoli per i quali è fissata la misura $\alpha$ di un angolo; precisamente vedremo che si ha: \begin\{equation*\} p^\{2\} \geq \frac\{2(1 + \sin\frac\{\alpha\}\{2\})^\{2\}\}\{\sin \alpha\} * S \end\{equation*\} e l’uguaglianza vale se e solo se il triangolo è isoscele con $\alpha$ come angolo al vertice.},
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TY - JOUR
AU - Baiocchi, Claudio
TI - Disuguaglianze isoperimetriche per i triangoli
JO - Rendiconto dell’Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche
DA - 2018/12//
PB - Società Nazione di Scienze, Lettere e Arti in Napoli; Giannini
VL - 85
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AB - Il semiperimetro $p$ di un triangolo $ABC$ e la misura $S$ della sua superficie sono legati dalla disuguaglianza: \begin{equation*} p^{2} \geq 3\sqrt{3}*S \end{equation*} e l’uguaglianza vale se e solo se il triangolo è equilatero. Si tratta della ben nota disuguaglianza isoperimetrica la quale assicura che, tra tutti i triangoli di area assegnata, quello equilatero ha il perimetro minimo. Ci proponiamo di ottenere una disuguaglianza più precisa valida per la famiglia dei triangoli per i quali è fissata la misura $\alpha$ di un angolo; precisamente vedremo che si ha: \begin{equation*} p^{2} \geq \frac{2(1 + \sin\frac{\alpha}{2})^{2}}{\sin \alpha} * S \end{equation*} e l’uguaglianza vale se e solo se il triangolo è isoscele con $\alpha$ come angolo al vertice.
LA - ita
KW - Triangoli; Disuguaglianze
UR - http://eudml.org/doc/296737
ER -

References

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  3. Honsberger, Ross, A Typical Problem on an Entrance Exam for the Ecole Polytechnique, cms.math.ca/crux/v38/n3/ArticleHonsberger 38-3.pdf Zbl0789.40001

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