The Basel Problem Nine Times Differently

Jan Haluza

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie (2022)

  • Volume: 67, Issue: 4, page 201-222
  • ISSN: 0032-2423

Abstract

top
V tomto článku podrobně rozebereme celkem devět řešení tzv. basilejského problému (hledání součtu převrácených hodnot druhých mocnin přirozených čísel). První publikované řešení od L. Eulera využívá rozkladu ``nekonečného polynomu'' na součin kořenových činitelů. Druhé řešení pracuje s Taylorovým rozvojem funkce arkussinus a rekurentním vzorcem pro jistý určitý integrál, třetí je založeno na vztazích mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou a výpočtu limity s využitím l'Hospitalova pravidla. Ve čtvrtém řešení odvodíme výsledek pomocí Parsevalovy rovnosti. V pátém nám poslouží transformace dvojného integrálu a Fubiniova věta. V následujících dvou jsou primárními nástroji funkce gama, digama a trigama. V prvním z nich převedeme problém pomocí funkce digama na výpočet limity, ve druhém pak na základě fyzikální interpretace dostaneme hledaný výsledek jako hodnotu funkce trigama v určitém bodě. Předposlední postup využívá teorii pravděpodobnosti a vzorec pro hustotu podílu dvou náhodných veličin. Poslední se pak opět vrací ke vztahům mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou, pomocí nichž vypočítáme jistý integrál.

How to cite

top

Haluza, Jan. "Basilejský problém devětkrát jinak." Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 67.4 (2022): 201-222. <http://eudml.org/doc/298947>.

@article{Haluza2022,
abstract = {V tomto článku podrobně rozebereme celkem devět řešení tzv. basilejského problému (hledání součtu převrácených hodnot druhých mocnin přirozených čísel). První publikované řešení od L. Eulera využívá rozkladu ``nekonečného polynomu'' na součin kořenových činitelů. Druhé řešení pracuje s Taylorovým rozvojem funkce arkussinus a rekurentním vzorcem pro jistý určitý integrál, třetí je založeno na vztazích mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou a výpočtu limity s využitím l'Hospitalova pravidla. Ve čtvrtém řešení odvodíme výsledek pomocí Parsevalovy rovnosti. V pátém nám poslouží transformace dvojného integrálu a Fubiniova věta. V následujících dvou jsou primárními nástroji funkce gama, digama a trigama. V prvním z nich převedeme problém pomocí funkce digama na výpočet limity, ve druhém pak na základě fyzikální interpretace dostaneme hledaný výsledek jako hodnotu funkce trigama v určitém bodě. Předposlední postup využívá teorii pravděpodobnosti a vzorec pro hustotu podílu dvou náhodných veličin. Poslední se pak opět vrací ke vztahům mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou, pomocí nichž vypočítáme jistý integrál.},
author = {Haluza, Jan},
journal = {Pokroky matematiky, fyziky a astronomie},
language = {cze},
number = {4},
pages = {201-222},
publisher = {Jednota českých matematiků a fyziků},
title = {Basilejský problém devětkrát jinak},
url = {http://eudml.org/doc/298947},
volume = {67},
year = {2022},
}

TY - JOUR
AU - Haluza, Jan
TI - Basilejský problém devětkrát jinak
JO - Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
PY - 2022
PB - Jednota českých matematiků a fyziků
VL - 67
IS - 4
SP - 201
EP - 222
AB - V tomto článku podrobně rozebereme celkem devět řešení tzv. basilejského problému (hledání součtu převrácených hodnot druhých mocnin přirozených čísel). První publikované řešení od L. Eulera využívá rozkladu ``nekonečného polynomu'' na součin kořenových činitelů. Druhé řešení pracuje s Taylorovým rozvojem funkce arkussinus a rekurentním vzorcem pro jistý určitý integrál, třetí je založeno na vztazích mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou a výpočtu limity s využitím l'Hospitalova pravidla. Ve čtvrtém řešení odvodíme výsledek pomocí Parsevalovy rovnosti. V pátém nám poslouží transformace dvojného integrálu a Fubiniova věta. V následujících dvou jsou primárními nástroji funkce gama, digama a trigama. V prvním z nich převedeme problém pomocí funkce digama na výpočet limity, ve druhém pak na základě fyzikální interpretace dostaneme hledaný výsledek jako hodnotu funkce trigama v určitém bodě. Předposlední postup využívá teorii pravděpodobnosti a vzorec pro hustotu podílu dvou náhodných veličin. Poslední se pak opět vrací ke vztahům mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou, pomocí nichž vypočítáme jistý integrál.
LA - cze
UR - http://eudml.org/doc/298947
ER -

References

top
  1. Apostol, T. M., 10.1007/BF03026576, . Math. Intelligencer 5 (1983), 59–60. (1983) MR0737691DOI10.1007/BF03026576
  2. Došlá, Z., Novák, V., Nekonečné řady, . 3. vydání, Masarykova univerzita, Brno, 2013. (2013) 
  3. Dunham, W., Euler: The Master of us all, . The Mathematical Association of America, Washington, DC, 1999. (1999) MR1669154
  4. Haluza, J., Sčítání nekonečných řad a Basilejský problém, . Bakalářská práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Brno, 2022. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/bazus/ (2022) 
  5. Harper, J. D., Another simple proof of 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ... = π 2 6 , . Amer. Math. Monthly 110 (2003), 540–541. (2003) MR1984408
  6. Havil, J., Gamma: Exploring Euler’s constant, . Princeton University Press, Princeton, 2003. (2003) MR1968276
  7. Jankov, A., Basilejský problém, . SOČ, Ostrava, 2016. Dostupné z: http://soc.nidv.cz/archiv/rocnik38/obor/1 (2016) 
  8. Nahin, P. J., In pursuit of zeta-3: The world’s most mysterious unsolved math problem, . Princeton University Press, Princeton, 2021. (2021) MR4375345
  9. Pace, L., 10.4169/amer.math.monthly.118.07.641, . Amer. Math. Monthly 118 (2011), 641–643. (2011) MR2826455DOI10.4169/amer.math.monthly.118.07.641
  10. Perkins, D., ϕ , π , e i , . The Mathematical Association of America, 2018. (2018) 
  11. Řimnáčová, B., Mocninné řady, . Bakalářská práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Brno, 2020. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/kym38/ (2020) 
  12. Silagadze, Z. K., 10.1007/s00283-019-09902-x, . Math. Intelligencer 41 (2019), 14–18. (2019) MR3995311DOI10.1007/s00283-019-09902-x
  13. Sullivan, B. W., The Basel problem: numerous proofs, [online]. Dostupné z: https://www.math.cmu.edu/ bwsulliv/basel-problem.pdf 
  14. Van Der Poorten, A., Apéry, R., 10.1007/BF03028234, . Math. Intelligencer 1 (1979), 195–203. (1979) MR0547748DOI10.1007/BF03028234
  15. Veselý, J., Komplexní analýza pro učitele, . Karolinum, Praha, 2000. (2000) 

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.