Regular Variation: From Scale Invariance To Convergence Tests

Pavel Řehák

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie (2023)

  • Volume: 68, Issue: 1, page 1-28
  • ISSN: 0032-2423

Abstract

top
Článek se snaží přiblížit některé aspekty teorie regulární variace. Jde o pojem z klasické analýzy, který má bohatou historii a četné aplikace v teorii pravděpodobnosti, teorii čísel, integrálních transformacích, komplexní analýze, diferenciálních rovnicích, teorii her či teorii grafů. Regulárně měnící se funkce mají souvislost s mnoha matematickými pojmy, včetně škálové invariance, kterou náš výklad začíná, či konvergenčními testy pro nekonečné řady, kterými náš výklad končí. V průběhu výkladu se zastavujeme u některých zásadních momentů vývoje teorie a u vybraných aplikací ve čtyřech z výše jmenovaných oblastí.

How to cite

top

Řehák, Pavel. "Regulární variace: od škálové invariance ke konvergenčním testům." Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 68.1 (2023): 1-28. <http://eudml.org/doc/299261>.

@article{Řehák2023,
abstract = {Článek se snaží přiblížit některé aspekty teorie regulární variace. Jde o pojem z klasické analýzy, který má bohatou historii a četné aplikace v teorii pravděpodobnosti, teorii čísel, integrálních transformacích, komplexní analýze, diferenciálních rovnicích, teorii her či teorii grafů. Regulárně měnící se funkce mají souvislost s mnoha matematickými pojmy, včetně škálové invariance, kterou náš výklad začíná, či konvergenčními testy pro nekonečné řady, kterými náš výklad končí. V průběhu výkladu se zastavujeme u některých zásadních momentů vývoje teorie a u vybraných aplikací ve čtyřech z výše jmenovaných oblastí.},
author = {Řehák, Pavel},
journal = {Pokroky matematiky, fyziky a astronomie},
language = {cze},
number = {1},
pages = {1-28},
publisher = {Jednota českých matematiků a fyziků},
title = {Regulární variace: od škálové invariance ke konvergenčním testům},
url = {http://eudml.org/doc/299261},
volume = {68},
year = {2023},
}

TY - JOUR
AU - Řehák, Pavel
TI - Regulární variace: od škálové invariance ke konvergenčním testům
JO - Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
PY - 2023
PB - Jednota českých matematiků a fyziků
VL - 68
IS - 1
SP - 1
EP - 28
AB - Článek se snaží přiblížit některé aspekty teorie regulární variace. Jde o pojem z klasické analýzy, který má bohatou historii a četné aplikace v teorii pravděpodobnosti, teorii čísel, integrálních transformacích, komplexní analýze, diferenciálních rovnicích, teorii her či teorii grafů. Regulárně měnící se funkce mají souvislost s mnoha matematickými pojmy, včetně škálové invariance, kterou náš výklad začíná, či konvergenčními testy pro nekonečné řady, kterými náš výklad končí. V průběhu výkladu se zastavujeme u některých zásadních momentů vývoje teorie a u vybraných aplikací ve čtyřech z výše jmenovaných oblastí.
LA - cze
UR - http://eudml.org/doc/299261
ER -

References

top
  1. Appleby, J. A. D., Patterson, D. D., On necessary and sufficient conditions for preserving convergence rates to equilibrium in deterministically and stochastically perturbed differential equations with regularly varying nonlinearity, . Recent advances in delay differential and difference equations, 1–85, 94, Springer, Cham, 2014. (2014) MR3280185
  2. Avakumović, V. G., Sur l’équation différentielle de Thomas–Fermi, . Acad. Serbe Sci. Publ. Inst. Math. 1 (1947), 101–113. (1947) MR0028491
  3. Bingham, N. H., Goldie, C. M., Teugels, J. L., Regular variation, . Cambridge Univ. Press, 1987. (1987) MR0898871
  4. Bingham, N. H., Regular variation in probability theory, . Publ. Inst. Math. 48 (1990), 169–180. (1990) MR1105151
  5. Bingham, N. H., 10.1016/j.cam.2005.11.034, . J. Comput. Appl. Math. 200 (2007), 357–363. (2007) MR2276837DOI10.1016/j.cam.2005.11.034
  6. Bingham, N. H., 10.2298/PIM140202002B, . Publ. Inst. Math. 97 (2015), 161–174. (2015) MR3331244DOI10.2298/PIM140202002B
  7. Bingham, N. H., Ostaszewski, A. J., 10.1007/978-3-030-83309-1_7, . Progr. Probab. 78 (2021), 121–137. (2021) MR4425788DOI10.1007/978-3-030-83309-1_7
  8. Bohner, M., Peterson, A. C., Dynamic equations on time scales: An introduction with applications, . Birkhäuser, Boston, 2001. (2001) MR1843232
  9. Bojanić, R., Seneta, E., 10.1007/BF01214468, . Math. Z. 134 (1973), 91–106. (1973) MR0333082DOI10.1007/BF01214468
  10. de Bruijn, N. G., van Lint, J. H., 10.1016/S1385-7258(64)50040-2, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 67, Indag. Math. 26 (1964), 339–347, 348–359. (1964) MR0174530DOI10.1016/S1385-7258(64)50040-2
  11. Delange, H., Théoremes taubériens et applications arithmétiques, . Mém. Soc. Roy. Sci. Liege 16 (1955), 87 pp. (1955) MR0076923
  12. Evtukhov, V. M., Samoilenko, A. M., Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations with regularly varying nonlinearities, (Russian). Differ. Uravn. 47 (2011), 628–650; translation in Differ. Equ. 47 (2011), 627–649. (2011) Zbl1242.34092MR2918280
  13. Feller, W., An introduction to probability theory and its applications, Vol. II, . Second edition, John Wiley, New York–London–Sydney, 1971. (1971) MR0270403
  14. Galambos, J., Seneta, E., 10.1090/S0002-9939-1973-0323963-5, . Proc. Amer. Math. Soc. 41 (1973), 110–116. (1973) Zbl0247.26002MR0323963DOI10.1090/S0002-9939-1973-0323963-5
  15. Geluk, J. L., On slowly varying solutions of the linear second order differential equation, . Publ. Inst. Math. 48 (1990), 52–60. (1990) MR1105139
  16. Geluk, J. L., de Haan, L., Regular variation, extensions and Tauberian theorems, . CWI Tract 40, Amsterdam, 1987. (1987) MR0906871
  17. de Haan, L., On regular variation and its application to the weak convergence of sample extremes, . Mathematical Centre Tracts 32, Amsterdam, 1970. (1970) MR0286156
  18. de Haan, L., Ferreira, A., Extreme value theory. An introduction, . Springer, New York, 2006. (2006) MR2234156
  19. Hammond, C. N. B., Omey, E., Regular variation and Raabe, . Dostupné z arXiv:1808.01898v1 (2018). (2018) 
  20. Hardy, G. H., Orders of infinity. The Infinitärcalcül of Paul du Bois-Reymond, . Reprint of the 1910 edition, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 12. Hafner Publishing Co., New York, 1971. (1971) MR0349922
  21. Jaroš, J., Kusano, T., Tanigawa, T., 10.1016/j.na.2005.05.045, . Nonlinear Anal. 64 (2006), 762–787. (2006) MR2197094DOI10.1016/j.na.2005.05.045
  22. Jessen, A. H., Mikosch, T., 10.2298/PIM0694171J, . Publ. Inst. Math. 80 (2006), 171–192. (2006) MR2281913DOI10.2298/PIM0694171J
  23. Karamata, J., 10.1007/BF01194636, . Math. Z. 32 (1930), 319–320. (1930) MR1545168DOI10.1007/BF01194636
  24. Karamata, J., Sur un mode de croissance régulière des fonctions, . Mathematica (Cluj) 4 (1930), 38–53. (1930) 
  25. Karamata, J., 10.24033/bsmf.1196, . Bull. Soc. Math. France 61 (1933), 55–62. (1933) MR1504998DOI10.24033/bsmf.1196
  26. Kohlbecker, E. E., 10.1090/S0002-9947-1958-0095808-9, . Trans. Amer. Math. Soc. 88 (1958), 346–365. (1958) MR0095808DOI10.1090/S0002-9947-1958-0095808-9
  27. Korevaar, J., Tauberian theory. A century of developments, . Springer, Berlin, 2004. (2004) MR2073637
  28. Korevaar, J., van Aardenne-Ehrenfest, T., de Bruijn, N. G., A note on slowly oscillating functions, . Nieuw Arch. Wiskd. 23 (1949), 77–86. (1949) MR0027812
  29. Landau, E., Sur les valeurs moyennes de certaines fonctions arithmétiques, . Bull. Acad. R. Belgique (1911), 443–472. (1911) 
  30. Marić, V., Regular variation and differential equations, . Lecture Notes in Mathematics 1726, Springer, 2000. (2000) MR1753584
  31. Marić, V., Jovan Karamata (1902–1967), . Mat. Vesnik 54 (2002), 45–51. (2002) MR1958493
  32. Marić, V., Tomić, M., A classification of solutions of second order linear differential equations by means of regularly varying functions, . Publ. Inst. Math. 48 (1990), 199–207. (1990) MR1105154
  33. Matucci, S., Řehák, P., 10.1002/mana.201400252, . Math. Nachr. 288 (2015), 1413–1430. (2015) MR3377126DOI10.1002/mana.201400252
  34. Mijajlović, Ž., Pejović, N., Šegan, S., Damljanović, G., On asymptotic solutions of Friedmann equations, . Appl. Math. Comput. 219 (2012), 1273–1286. (2012) MR2981320
  35. Nair, J., Wierman, A., Zwart, B., The fundamentals of heavy tails: Properties, emergence, and estimation, . Cambridge University Press, 2022. (2022) MR4585805
  36. Newman, M. E. J., 10.1080/00107510500052444, . Contemp. Phys. 46 (2005), 323–351. (2005) DOI10.1080/00107510500052444
  37. Niethammer, B., Pego, R. L., 10.1023/A:1004546215920, . J. Stat. Phys. 95 (1999), 867–902. (1999) MR1712441DOI10.1023/A:1004546215920
  38. Nikolić, A., 10.1016/j.hm.2017.12.001, . Historia Math. 45 (2018), 277–299. (2018) MR3832962DOI10.1016/j.hm.2017.12.001
  39. Pólya, G., Über eine neue Weise, bestimmte Integrale in der analytischen Zahlentheorie zu gebrauchen, . Göttinger Nachr. (1917), 149–159. (1917) 
  40. Rădulescu, V., Singular phenomena in nonlinear elliptic problems: from blow-up boundary solutions to equations with singular nonlinearities, . Handbook of differential equations: stationary partial differential equations, Vol. IV, 485–593, Elsevier, North-Holland, Amsterdam, 2007. (2007) MR2569336
  41. Resnick, S. I., Extreme values, regular variation and point processes, . Springer, 2008. (2008) MR2364939
  42. Řehák, P., Nonlinear differential equations in the framework of regular variation, . AMathNet, 2014. Dostupné z: http://users.math.cas.cz/~rehak/ndefrv (2014) 
  43. Řehák, P., 10.1002/mma.5670, . Math. Meth. Appl. Sci. 42 (2019), 1–12. (2019) MR4037886DOI10.1002/mma.5670
  44. Řehák, P., 10.1007/s00605-019-01361-y, . Monatsh. Math. 192 (2020), 419–426. (2020) MR4098140DOI10.1007/s00605-019-01361-y
  45. Řehák, P., Vítovec, J., 10.1016/j.na.2009.06.078, . Nonlinear Anal. 72 (2010), 439–448. (2010) MR2574953DOI10.1016/j.na.2009.06.078
  46. Saari, D. G., Collisions, rings, and other Newtonian N -body problems, . CBMS American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. (2005) MR2139425
  47. Seneta, E., Regularly varying functions, . Lecture Notes in Mathematics 508, Springer, Berlin–Heidelberg–New York, 1976. (1976) Zbl0324.26002MR0453936
  48. Shaposhnikov, E., Kengo, S., 10.1103/PhysRevD.99.103528, . Phys. Rev. D 99 (2019), 103528. (2019) MR4007075DOI10.1103/PhysRevD.99.103528
  49. Tomić, M., Jovan Karamata (1902–1967). The 100th anniversary of the birthday of Academician Jovan Karamata, . Bull. Cl. Sci. Math. Nat. Sci. Math. 26 (2001), 1–30. (2001) MR1874617
  50. Tong, J. C., 10.1080/00029890.1994.11996971, . Amer. Math. Monthly 101 (1994), 450–452. (1994) MR1272945DOI10.1080/00029890.1994.11996971
  51. Zygmund, A., Trigonometric series, Vol. I, II, . Cambridge University Press, Cambridge, 2002. (2002) MR1963498

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.