Les carrés dans des généralisations des suites de Lucas

Pierre Samuel[1]

  • [1] 3, Avenue du Lycée Lakanal 92340 Bourg-La-Reine

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2004)

  • Volume: 16, Issue: 3, page 693-703
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Let P , Q be positive, relatively prime and odd integers such that P 2 - 4 Q > 0 . We study the sequences ( x n ) n ≥ 0 of positive integers satisfying the recursion formula x n + 1 = P x n - Q x n - 1 . They generalize the classical Lucas sequences ( U n ( P , Q ) ) and ( V n ( P , Q ) ) . The prime divisors of V n ( P , Q ) for n = 3 · 2 j have nice properties which, through the computation of the Legendre Symbols of suitable x n ’s modulo these primes, give an efficient method for trying to find all squares (also double squares, triple squares, ...) in the sequence ( x n ) . This is applied to Diophantine equations of the form x 4 - E y 2 = k , x 2 - E y 4 = k when E is the squarefree part of an integer P 2 - 4 , P odd. We construct sequences ( x n ) containing squares with arbitrarily large indices. We also show how to find sequences ( x n ) containing three squares.

How to cite

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Samuel, Pierre. "Les carrés dans des généralisations des suites de Lucas." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 16.3 (2004): 693-703. <http://eudml.org/doc/249247>.

@article{Samuel2004,
abstract = {Etant donnés deux entiers $P,Q,$impairs, premiers entre eux et tels que $P^2-4Q &gt; 0$, on étudie les suites $(x_n)_\{n\ge 0\}$ d’entiers positifs telles que $x_\{n+1\} = Px_n-Qx_\{n-1\}$. Elles généralisent les suites classiques de Lucas $(U_n(P,Q))$ et $(V_n(P,Q)$. Les propriétés des diviseurs premiers de $V_n(P,Q)$ pour $ n = 3\cdot 2^j$ donnent, via le calcul des Symboles de Legendre de certains $x_n$ modulo ceux-ci, une méthode efficace de détermination des carrés (resp. doubles, triples, ... de carrés) dans une suite $(x_n)$. Ceci est appliqué aux équations Diophantiennes de la forme $x^4 -Ey^2 = k$, $ x^2-Ey^4 = k$ lorsque $E$ est la partie sans facteurs carrés d’un entier de la forme $P^2-4$, $P$ impair. On construit des suites $(x_n)$ contenant un carré d’indice arbitrairement grand. Et on montre comment trouver des suites $(x_n)$ contenant trois carrés.},
affiliation = {3, Avenue du Lycée Lakanal 92340 Bourg-La-Reine},
author = {Samuel, Pierre},
journal = {Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux},
keywords = {Fibonacci number; Lucas number},
language = {fre},
number = {3},
pages = {693-703},
publisher = {Université Bordeaux 1},
title = {Les carrés dans des généralisations des suites de Lucas},
url = {http://eudml.org/doc/249247},
volume = {16},
year = {2004},
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TY - JOUR
AU - Samuel, Pierre
TI - Les carrés dans des généralisations des suites de Lucas
JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
PY - 2004
PB - Université Bordeaux 1
VL - 16
IS - 3
SP - 693
EP - 703
AB - Etant donnés deux entiers $P,Q,$impairs, premiers entre eux et tels que $P^2-4Q &gt; 0$, on étudie les suites $(x_n)_{n\ge 0}$ d’entiers positifs telles que $x_{n+1} = Px_n-Qx_{n-1}$. Elles généralisent les suites classiques de Lucas $(U_n(P,Q))$ et $(V_n(P,Q)$. Les propriétés des diviseurs premiers de $V_n(P,Q)$ pour $ n = 3\cdot 2^j$ donnent, via le calcul des Symboles de Legendre de certains $x_n$ modulo ceux-ci, une méthode efficace de détermination des carrés (resp. doubles, triples, ... de carrés) dans une suite $(x_n)$. Ceci est appliqué aux équations Diophantiennes de la forme $x^4 -Ey^2 = k$, $ x^2-Ey^4 = k$ lorsque $E$ est la partie sans facteurs carrés d’un entier de la forme $P^2-4$, $P$ impair. On construit des suites $(x_n)$ contenant un carré d’indice arbitrairement grand. Et on montre comment trouver des suites $(x_n)$ contenant trois carrés.
LA - fre
KW - Fibonacci number; Lucas number
UR - http://eudml.org/doc/249247
ER -

References

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  1. J.H.E. Cohn, Eight Diophantine equations. Proc. London Math. Soc. (3), 16 (1966), 153–166. Zbl0136.02806MR190078
  2. J.H.E. Cohn, Some quartic Diophantine equations. Pacific J. of Math. 26, 2 (1968), 233–243. Zbl0191.04902MR241362
  3. W. Mc Daniel, P. Ribenboim, The square terms in Lucas sequences. J. Number Theory, 58, 1 (1996), 104–123. Zbl0851.11011MR1387729
  4. J.P. Serre, Cours d’Arithmétique. Presses Univ. de France, 1970. Zbl0225.12002MR255476

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