Soit $a$ un entier $\ge 3$. Pour $\alpha =(a+\sqrt{a^2-4})/2$ et $\beta =(a-\sqrt{a^2-4})/2$, nous considérons la suite de Lucas ${𝑢}_{𝑛}=({\alpha }^{𝑛}-{\beta }^{𝑛})/(\alpha -\beta )$. Nous montrons que, pour $a\ge 4,{𝑢}_{𝑛}$ n’est ni un carré, ni le double, ni le triple d’un carré, ni six fois un carré pour $n\>3$ sauf si $a=338$ et $n=4$.

Let $K=k\left(\sqrt{-p\epsilon \sqrt{l}}\right)$ with $k=\mathbb{Q}\left(\sqrt{l}\right)$ where $l$ is a prime number such that $l=2$ or $l\equiv 5mod8$, $\epsilon$ the fundamental unit of $k$, $p$ a prime number such that $p\equiv 1mod4$ and ${\left(\frac{p}{l}\right)}_4=-1$, $K_2^{\left(1\right)}$ the Hilbert $2$-class field of $K$, $K_2^{\left(2\right)}$ the Hilbert $2$-class field of $K_2^{\left(1\right)}$ and $G=Gal(K_2^{\left(2\right)}/K)$ the Galois group of $K_2^{\left(2\right)}/K$. According to E. Brown and C. J. Parry [7] and [8], $C_{2,K}$, the Sylow $2$-subgroup of the ideal class group of $K$, is isomorphic to $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, consequently $K_2^{\left(1\right)}/K$ contains three extensions $F_i/K$ $(i=1,2,3)$ and the tower of the Hilbert $2$-class field of $K$ terminates at either $K_2^{\left(1\right)}$ or $K_2^{\left(2\right)}$. In this...

On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$. Il est bien connu que $\mathbb{Q}$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $\mathbb{Q}$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser...

Soient $k$ un corps de nombres et $𝒞l\left(k\right)$ son groupe des classes. Une extension de $k$ à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné $A_4$ est dite alternée. Soit $E/k$ une extension cyclique de degré $3$. On calcule la classe de Steinitz, dans $𝒞l\left(k\right)$, de toute extension alternée contenant $E$. Sous l’hypothèse que le nombre des classes de $k$ est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de $𝒞l\left(k\right)$ lorsque l’anneau des entiers de $E$ est libre sur celui de $k$ ou $3$ ne divise...