Automates et algébricités

Jean-Paul Allouche[1]

  • [1] CNRS, LRI, Bâtiment 490 F-91405 Orsay Cedex, France

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2005)

  • Volume: 17, Issue: 1, page 1-11
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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How related are the following: the regularity of the digits of a real number in an integer base, the regularity of the partial quotients of the continued fraction expansion of a real number, or the regularity of the coefficients of a formal power series, and the algebraicity or transcendence of this real number or of this formal power series? We give a survey of recent results for regularity properties of automatic, substitutive, or Sturmian sequences.

How to cite

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Allouche, Jean-Paul. "Automates et algébricités." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 17.1 (2005): 1-11. <http://eudml.org/doc/249435>.

@article{Allouche2005,
abstract = {Dans quelle mesure la régularité des chiffres d’un nombre réel dans une base entière, celle des quotients partiels du développement en fraction continuée d’un nombre réel, ou celle des coefficients d’une série formelle sont-elles liées à l’algébricité ou à la transcendance de ce réel ou de cette série formelle  ? Nous proposons un survol de résultats récents dans le cas où la régularité évoquée ci-dessus est celle de suites automatiques, substitutives, ou sturmiennes.},
affiliation = {CNRS, LRI, Bâtiment 490 F-91405 Orsay Cedex, France},
author = {Allouche, Jean-Paul},
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TY - JOUR
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TI - Automates et algébricités
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AB - Dans quelle mesure la régularité des chiffres d’un nombre réel dans une base entière, celle des quotients partiels du développement en fraction continuée d’un nombre réel, ou celle des coefficients d’une série formelle sont-elles liées à l’algébricité ou à la transcendance de ce réel ou de cette série formelle  ? Nous proposons un survol de résultats récents dans le cas où la régularité évoquée ci-dessus est celle de suites automatiques, substitutives, ou sturmiennes.
LA - fre
KW - Formal power series; Automata; Transcendence
UR - http://eudml.org/doc/249435
ER -

References

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  1. B. Adamczewski, Transcendance de nombres réels et p -adiques par la méthode de Roth. Prétirage, 2004. 
  2. B. Adamczewski, J. Cassaigne, On the transcendence of real numbers with a regular expansion. J. Number Theory 103 (2003), 27–37. Zbl1052.11052MR2008064
  3. J.-P. Allouche, Nouveaux résultats de transcendance de réels à développement non aléatoire. Gaz. Math. 84 (2000), 19–34. MR1766087
  4. J.-P. Allouche, J. L. Davison, M. Queffélec, L. Q. Zamboni, Transcendence of Sturmian or morphic continued fractions. J. Number Theory 91 (2001), 39–66. Zbl0998.11036MR1869317
  5. J.-P. Allouche, J. Shallit, The ubiquitous Prouhet-Thue-Morse sequence, in Sequences and their applications, Proceedings of SETA’98, C. Ding, T. Helleseth and H. Niederreiter (Eds.). Springer, 1999, pp. 1–16. Zbl1005.11005MR1843077
  6. J.-P. Allouche, J. Shallit, Automatic sequences. Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press, 2003, xvi + 571 pages. Zbl1086.11015MR1997038
  7. J.-P. Allouche, L. Q. Zamboni, Algebraic irrational binary numbers cannot be fixed points of non-trivial constant length or primitive morphisms. J. Number Theory 69 (1998), 119–124. Zbl0918.11016MR1611101
  8. É. Borel, Sur les chiffres décimaux de 2 et divers problèmes de probabilités en chaîne. C. R. Acad. Sci. Paris 230 (1950), 591–593. Réédité dans  : Œuvres d’É. Borel, vol. 2. Éditions du CNRS, Paris, 1972, pp. 1203–1204. Zbl0035.08302
  9. G. Christol, Ensembles presque périodiques k -reconnaissables. Theoret. Comput. Sci. 9 (1979), 141–145. Zbl0402.68044MR535129
  10. G. Christol, T. Kamae, M. Mendès France, G. Rauzy, Suites algébriques, automates et substitutions. Bull. Soc. Math. France 108 (1980), 401–419. Zbl0472.10035MR614317
  11. A. Cobham, On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite automata. Math. Systems Theory 3 (1969), 186–192. Zbl0179.02501MR250789
  12. A. Cobham, Uniform tag sequences. Math. Systems Theory 6 (1972), 164–192. Zbl0253.02029MR457011
  13. L. V. Danilov, Some classes of transcendental numbers (en russe). Mat. Zametki 12 (1972), 149–154. Traduit dans  : Math. Notes Acad. Sci. USSR 12 (1972), 524–527. Zbl0253.10026MR316391
  14. P. Fatou, Séries trigonométriques et séries de Taylor. Acta Math 30 (1906), 335–400. Zbl37.0283.01
  15. S. Ferenczi, C. Mauduit, Transcendence of numbers with a low complexity expansion. J. Number Theory 67 (1997), 146–161. Zbl0895.11029MR1486494
  16. J. H. Loxton, A. J. van der Poorten, Arithmetic properties of certain functions in several variables, III. Bull. Austral. Math. Soc. 16 (1977), 15–47. Zbl0339.10028MR452125
  17. K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen. Math. Ann. 101 (1929), 342–366. Corrigendum 103 (1930), 532. Zbl55.0115.01MR1512537
  18. M. Morse, Recurrent geodesics on a surface of negative curvature. Trans. Amer. Math. Soc. 22 (1921), 84–100. Zbl48.0786.06MR1501161
  19. K. Nishioka, T.-a. Tanaka, Z.-Y. Wen, Substitution in two symbols and transcendence. Tokyo J. Math. 22 (1999), 127–136. Zbl0940.11015MR1692025
  20. G. Pólya, Über gewisse notwendige Determinantenkriterien für die Fortsetzbarkeit einer Potenzreihe. Math. Ann. 99 (1928), 687–706. Zbl54.0340.07MR1512473
  21. E. Prouhet, Mémoire sur quelques relations entre les puissances des nombres. C. R. Acad. Sci. Paris 33 (1851), 225. 
  22. M. Queffélec, Transcendance des fractions continues de Thue-Morse. J. Number Theory 73 (1998), 201–211. Zbl0920.11045MR1658023
  23. D. Roy, Approximation simultanée d’un nombre et de son carré. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 336 (2003), 1–6. Zbl1038.11042MR1968892
  24. D. Roy, Approximation to real numbers by cubic algebraic integers, I. Proc. London Math. Soc. 88 (2004), 42–62. Zbl1035.11028MR2018957
  25. A. Thue, Über unendliche Zeichenreihen. Norske vid. Selsk. Skr. Mat. Nat. Kl. 7 (1906), 1–22. Reprinted in Selected mathematical papers of Axel Thue. T. Nagell, ed., Universitetsforlaget, Oslo, 1977, pp. 139–158. 
  26. A. Thue, Über die gegenseitige Lage gleicher Teile gewisser Zeichenreihen. Norske vid. Selsk. Skr. Mat. Nat. Kl. 1 (1912), 1–67. Reprinted in Selected mathematical papers of Axel Thue. T. Nagell, ed., Universitetsforlaget, Oslo, 1977, pp. 413–478. Zbl44.0462.01

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