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Note sur un article de Sharif et Woodcock

Jean-Paul Allouche — 1989

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

H. Sharif et C. Woodcock donnent dans [26] une caractérisation des séries formelles à coefficients dans un corps K de caractéristique non nulle et algébriques sur K ( X ) ; ils en déduisent simplement l’algébricité du produit de Hadamard ou des diagonales de séries algébriques. (Ces résultats ont aussi été obtenus par T. Harase [14]). Nous donnons ici une démonstration légèrement différente de leur théorème et montrons comment on peut en déduire une généralisation intéressante de la notion de p k -substitution...

Sur la transcendance de la série formelle Π

Jean-Paul Allouche — 1990

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

En utilisant le théorème de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy, nous donnons une démonstration élémentaire de la transcendance de la série formelle Π ainsi que d’autres séries formelles à coefficients dans un corps fini.

A note on univoque self-Sturmian numbers

Jean-Paul Allouche — 2010

RAIRO - Theoretical Informatics and Applications

We compare two sets of (infinite) binary sequences whose suffixes satisfy extremal conditions: one occurs when studying iterations of unimodal continuous maps from the unit interval into itself, but it also characterizes univoque real numbers; the other is a disguised version of the set of characteristic Sturmian sequences. As a corollary to our study we obtain that a real number in is univoque and self-Sturmian if and only if the -expansion of is of the form , where is a characteristic...

A note on univoque self-sturmian numbers

Jean-Paul Allouche — 2008

RAIRO - Theoretical Informatics and Applications - Informatique Théorique et Applications

We compare two sets of (infinite) binary sequences whose suffixes satisfy extremal conditions: one occurs when studying iterations of unimodal continuous maps from the unit interval into itself, but it also characterizes univoque real numbers; the other is a disguised version of the set of characteristic sturmian sequences. As a corollary to our study we obtain that a real number β in ( 1 , 2 ) is univoque and self-sturmian if and only if the β -expansion of 1 is of the form 1 v , where v is a characteristic...

Automates et algébricités

Jean-Paul Allouche — 2005

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Dans quelle mesure la régularité des chiffres d’un nombre réel dans une base entière, celle des quotients partiels du développement en fraction continuée d’un nombre réel, ou celle des coefficients d’une série formelle sont-elles liées à l’algébricité ou à la transcendance de ce réel ou de cette série formelle  ? Nous proposons un survol de résultats récents dans le cas où la régularité évoquée ci-dessus est celle de suites automatiques, substitutives, ou sturmiennes.

Lacunary formal power series and the Stern-Brocot sequence

Jean-Paul AlloucheMichel Mendès France — 2013

Acta Arithmetica

Let F ( X ) = n 0 ( - 1 ) ε X - λ be a real lacunary formal power series, where εₙ = 0,1 and λ n + 1 / λ > 2 . It is known that the denominators Qₙ(X) of the convergents of its continued fraction expansion are polynomials with coefficients 0, ±1, and that the number of nonzero terms in Qₙ(X) is the nth term of the Stern-Brocot sequence. We show that replacing the index n by any 2-adic integer ω makes sense. We prove that Q ω ( X ) is a polynomial if and only if ω ∈ ℤ. In all the other cases Q ω ( X ) is an infinite formal power series; we discuss its algebraic...

Kolam indiens, dessins sur le sable aux îles Vanuatu, courbe de Sierpinski et morphismes de monoïde

Gabrielle AlloucheJean-Paul AlloucheJeffrey Shallit — 2006

Annales de l’institut Fourier

Nous montrons que le tracé d’un kolam indien classique, que l’on retrouve aussi dans la tradition des dessins sur le sable aux îles Vanuatu, peut être engendré par un morphisme de monoïde. La suite infinie morphique ainsi obtenue est reliée à la célèbre suite de Prouhet-Thue-Morse, mais elle n’est k -automatique pour aucun entier k 1 .

Automata, algebraicity and distribution of sequences of powers

Jean-Paul AlloucheJean-Marc DeshouillersTeturo KamaeTadahiro Koyanagi — 2001

Annales de l’institut Fourier

Let K be a finite field of characteristic p . Let K ( ( x ) ) be the field of formal Laurent series f ( x ) in x with coefficients in K . That is, f ( x ) = n = n 0 f n x n with n 0 𝐙 and f n K ( n = n 0 , n 0 + 1 , ) . We discuss the distribution of ( { f m } ) m = 0 , 1 , 2 , for f K ( ( x ) ) , where { f } : = n = 0 f n x n K [ [ x ] ] denotes the nonnegative part of f K ( ( x ) ) . This is a little different from the real number case where the fractional part that excludes constant term (digit of order 0) is considered. We give an alternative proof of a result by De Mathan obtaining the generic distribution...

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