Les équations d'évolution liées au produit de composition

Schwartz, Laurent. "Les équations d'évolution liées au produit de composition." Annales de l'institut Fourier 2 (1950): 19-49. <http://eudml.org/doc/73688>.

@article{Schwartz1950,
abstract = {Une équation d’évolution d’un système physique est une équation matricielle de la forme\begin\{\}\{\partial \over \partial t\}U(x,t) + \sum \_\{\vert p\vert \le m\}A\_p(x,t)D^p\_xU(x,t)=B(x,t).\end\{\}Lorsque les coefficients $A$ ne dépendent que de $t$, cette équation est un cas particulier de l’équation de composition qui, en termes de distributions, s’écrit :\begin\{\}\{d\over dt\}U\_x(t)+A\_x(t)^*\_\{(x)\}U\_x(t)=B\_x(t).\end\{\}La méthode pour étudier une telle équation est la transformation de Fourier effectuée pour tout $t$ sur la variable spatiale $x$ seule. On trouve ainsi que le problème de Cauchy relatif aux données initiales pour $t=0$ n’a jamais plus d’une solution tempérée et on obtient aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en ait une. Dans ce cas, il existe une matrice résolvante $R_x(t,\tau )$ et la solution d’un problème de Cauchy est donné par\begin\{\}U\_x(t)=R\_x(t,t\_0)^*\_\{(x)\}U\_x(t\_0)+ \int ^t\_\{t\_0\}(R\_x(t,\tau )^*\_\{(x)\}B\_x(\tau ))d\tau .\end\{\}Cette méthode est appliquée aux équations aux dérivées partielles classiques (équation de la chaleur, équation des ondes), dont on obtient aussitôt les solutions, et la solution élémentaire.},
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TY - JOUR
AU - Schwartz, Laurent
TI - Les équations d'évolution liées au produit de composition
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1950
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 2
SP - 19
EP - 49
AB - Une équation d’évolution d’un système physique est une équation matricielle de la forme\begin{}{\partial \over \partial t}U(x,t) + \sum _{\vert p\vert \le m}A_p(x,t)D^p_xU(x,t)=B(x,t).\end{}Lorsque les coefficients $A$ ne dépendent que de $t$, cette équation est un cas particulier de l’équation de composition qui, en termes de distributions, s’écrit :\begin{}{d\over dt}U_x(t)+A_x(t)^*_{(x)}U_x(t)=B_x(t).\end{}La méthode pour étudier une telle équation est la transformation de Fourier effectuée pour tout $t$ sur la variable spatiale $x$ seule. On trouve ainsi que le problème de Cauchy relatif aux données initiales pour $t=0$ n’a jamais plus d’une solution tempérée et on obtient aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en ait une. Dans ce cas, il existe une matrice résolvante $R_x(t,\tau )$ et la solution d’un problème de Cauchy est donné par\begin{}U_x(t)=R_x(t,t_0)^*_{(x)}U_x(t_0)+ \int ^t_{t_0}(R_x(t,\tau )^*_{(x)}B_x(\tau ))d\tau .\end{}Cette méthode est appliquée aux équations aux dérivées partielles classiques (équation de la chaleur, équation des ondes), dont on obtient aussitôt les solutions, et la solution élémentaire.
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KW - partial differential equations
UR - http://eudml.org/doc/73688
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