Sur un problème à frontière libre de la physique des plasmas

H. Gourgeon; Jacqueline Mossino

Annales de l'institut Fourier (1979)

  • Volume: 29, Issue: 4, page 127-141
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In this paper we are concerned with the mathematical study of an equation of the Grad-Mercier type which describes the equilibrium of a confined plasma, under some circumstances [H. Grad, P.N. Hu et D.C. Stevens, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 72,n ∘ 10 (1975), 3789–3793, C. Mercier, Publication of Euratom, CEA, Luxembourg (1974), C. Mercier, Communications personnelles à R. Temam et aux auteurs]. The free boundary value-problem which we consider can be formulated as follows: to find a “regular" function u satisfying - Δ u + λ g [ δ ( u ) ] = 0 dans Ω , u = (unknown) constant > 0 on ∂ Ω , ∫ ∂ Ω ∂ u ∂ n = I , where Ω is a bounded regular open set of R n , and δ ( u ) ( x ) = mes { y ∈ Ω ∣ u ( x ) < u ( y ) < 0 } . We note that the nonlinear operator δ is neither monotone, nor local (nor even continuous). The existence, or non existence, of solutions is proved according to the values of the parameter λ . Similar problems were studied in [J. Mossino, Journal of Differential Equations], nevertheless the present problem requires new arguments in order to overcome the difficulties due to the partial coerciveness of the operator. In the crucial step here, we use a technique of symmetrization.

How to cite

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Gourgeon, H., and Mossino, Jacqueline. "Sur un problème à frontière libre de la physique des plasmas." Annales de l'institut Fourier 29.4 (1979): 127-141. <http://eudml.org/doc/74427>.

@article{Gourgeon1979,
abstract = {Ce papier porte sur l’étude mathématique d’une équation du type de Grad-Mercier qui décrit, dans certaines circonstances, l’équilibre d’un plasma confiné [H. Grad, P.N. Hu et D.C. Stevens, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 72,n$^\circ $10 (1975), 3789–3793, C. Mercier, Publication of Euratom, CEA, Luxembourg (1974), C. Mercier, Communications personnelles à R. Temam et aux auteurs]. Il s’agit de trouver une fonction “régulière” $u$ solution du système\begin\{\}\left\rbrace \begin\{array\}\{ll\}-\Delta u + \lambda g [\delta (u)] = 0& \text\{dans\} \Omega ,\\ u= \text\{constante\} \text\{(inconnue)\} &gt;0 & \text\{sur\} \partial \Omega ,\\ \int \_\{\partial \Omega \} \{\partial u\over \partial n\}=I,\end\{array\}\right.\end\{\}où $\Omega $ est un ouvert borné régulier de $\{\bf R\}^n$, et\begin\{\}\delta (u)(x) = \{\rm mes\}\lbrace y\in \Omega \mid u(x) &lt; u(y) &lt; 0\rbrace .\end\{\}L’opérateur non linéaire $\delta $ n’est ni monotone, ni local (ni même continu). Nous montrons l’existence, ou la non-existence, de solutions, selon les valeurs du paramètre $\lambda $. Cet article utilise des résultats antérieurs de l’un des auteurs [J. Mossino, Journal of Differential Equations] et il nécessite néanmoins de nouveaux arguments permettant de contourner la difficulté liée au manque de coercivité de l’opérateur. Une technique de symétrisation intervient ici de façon essentielle.},
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References

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