Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne

Alain Yger

Annales de l'institut Fourier (1981)

  • Volume: 31, Issue: 3, page 115-146
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let a be a real number, a ∈ ] 0 , 1 [ . We study the following system of convolution equations ( * ) ∀ x ∈ R 2 , f ( x ) = 1 4 ∑ ϵ = ± 1 ϵ ' = ± 1 f ( x + ( ϵ , ϵ ' ) ) = 1 4 ∑ ϵ = ± 1 ϵ ' = ± 1 f ( x + a ( ϵ , ϵ ' ) ) . We show first that the exponential-solutions of ( * ) are dense in the set of C ∞ solution of ( * ) ; the ideal of ℰ ' ( R 2 ) which is generated by the Fourier transforms of the two measures linked with that problem is “slowly decreasing”, as Berenstein-Taylor define that notion. When a is not a Liouville number, we show that there is a relatively compact open set Ω such that every solution of the system ( * ) in ℰ ' ( R 2 ) is regular in R 2 when it is C ∞ in Ω . We also study the case when a is of constant type.

How to cite

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Yger, Alain. "Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne." Annales de l'institut Fourier 31.3 (1981): 115-146. <http://eudml.org/doc/74500>.

@article{Yger1981,
abstract = {Soit $a$ un réel de $]0,1[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant\begin\{\}(*)\qquad \quad \forall x\in \{\bf R\}^2,~~ f(x) = \{1\over 4\} \sum \_\{\varepsilon =\pm 1\atop \varepsilon ^\{\prime \} = \pm 1\} f(x+(\varepsilon ,\varepsilon ^\{\prime \})) = \{1\over 4\} \sum \_\{\varepsilon =\pm 1\atop \varepsilon ^\{\prime \}=\pm 1\} f(x+a(\varepsilon ,\varepsilon ^\{\prime \})).\end\{\}Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $(*)$ sont denses dans l’espace des solutions $C^\infty $ du système d’équations; l’idéal de $\{\cal E\}^\{\prime \}(\{\bf R\}^2)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $(*)$ régulière sur cet ouvert l’est en fait partout. Nous étudions également le cas où $a$ est un irrationnel de type constant.},
author = {Yger, Alain},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {convolution equations; exponential-solutions; Liouville number; slowly decreasing in sense of Berenstein-Taylor},
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TY - JOUR
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
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AB - Soit $a$ un réel de $]0,1[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant\begin{}(*)\qquad \quad \forall x\in {\bf R}^2,~~ f(x) = {1\over 4} \sum _{\varepsilon =\pm 1\atop \varepsilon ^{\prime } = \pm 1} f(x+(\varepsilon ,\varepsilon ^{\prime })) = {1\over 4} \sum _{\varepsilon =\pm 1\atop \varepsilon ^{\prime }=\pm 1} f(x+a(\varepsilon ,\varepsilon ^{\prime })).\end{}Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $(*)$ sont denses dans l’espace des solutions $C^\infty $ du système d’équations; l’idéal de ${\cal E}^{\prime }({\bf R}^2)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $(*)$ régulière sur cet ouvert l’est en fait partout. Nous étudions également le cas où $a$ est un irrationnel de type constant.
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UR - http://eudml.org/doc/74500
ER -

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