# Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne

• Volume: 31, Issue: 3, page 115-146
• ISSN: 0373-0956

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## Abstract

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Let $a$ be a real number, $a\in \right]0,1\left[$. We study the following system of convolution equations$\left(*\right)\phantom{\rule{2em}{0ex}}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\forall x\in {\mathbf{R}}^{2},\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{ϵ=±1}{{ϵ}^{\text{'}}=±1}}f\left(x+\left(ϵ,{ϵ}^{\text{'}}\right)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{ϵ=±1}{{ϵ}^{\text{'}}=±1}}f\left(x+a\left(ϵ,{ϵ}^{\text{'}}\right)\right).$We show first that the exponential-solutions of $\left(*\right)$ are dense in the set of ${C}^{\infty }$ solution of $\left(*\right)$; the ideal of ${ℰ}^{\text{'}}\left({\mathbf{R}}^{2}\right)$ which is generated by the Fourier transforms of the two measures linked with that problem is “slowly decreasing”, as Berenstein-Taylor define that notion. When $a$ is not a Liouville number, we show that there is a relatively compact open set $\Omega$ such that every solution of the system $\left(*\right)$ in ${ℰ}^{\text{'}}\left({\mathbf{R}}^{2}\right)$ is regular in ${\mathbf{R}}^{2}$ when it is ${C}^{\infty }$ in $\Omega$. We also study the case when $a$ is of constant type.

## How to cite

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Yger, Alain. "Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne." Annales de l'institut Fourier 31.3 (1981): 115-146. <http://eudml.org/doc/74500>.

@article{Yger1981,
abstract = {Soit $a$ un réel de $]0,1[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant\begin\{\}(*)\qquad \quad \forall x\in \{\bf R\}^2,~~ f(x) = \{1\over 4\} \sum \_\{\varepsilon =\pm 1\atop \varepsilon ^\{\prime \} = \pm 1\} f(x+(\varepsilon ,\varepsilon ^\{\prime \})) = \{1\over 4\} \sum \_\{\varepsilon =\pm 1\atop \varepsilon ^\{\prime \}=\pm 1\} f(x+a(\varepsilon ,\varepsilon ^\{\prime \})).\end\{\}Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $(*)$ sont denses dans l’espace des solutions $C^\infty$ du système d’équations; l’idéal de $\{\cal E\}^\{\prime \}(\{\bf R\}^2)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $(*)$ régulière sur cet ouvert l’est en fait partout. Nous étudions également le cas où $a$ est un irrationnel de type constant.},
author = {Yger, Alain},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {convolution equations; exponential-solutions; Liouville number; slowly decreasing in sense of Berenstein-Taylor},
language = {fre},
number = {3},
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publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne},
url = {http://eudml.org/doc/74500},
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year = {1981},
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TY - JOUR
AU - Yger, Alain
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JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1981
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 31
IS - 3
SP - 115
EP - 146
AB - Soit $a$ un réel de $]0,1[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant\begin{}(*)\qquad \quad \forall x\in {\bf R}^2,~~ f(x) = {1\over 4} \sum _{\varepsilon =\pm 1\atop \varepsilon ^{\prime } = \pm 1} f(x+(\varepsilon ,\varepsilon ^{\prime })) = {1\over 4} \sum _{\varepsilon =\pm 1\atop \varepsilon ^{\prime }=\pm 1} f(x+a(\varepsilon ,\varepsilon ^{\prime })).\end{}Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $(*)$ sont denses dans l’espace des solutions $C^\infty$ du système d’équations; l’idéal de ${\cal E}^{\prime }({\bf R}^2)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $(*)$ régulière sur cet ouvert l’est en fait partout. Nous étudions également le cas où $a$ est un irrationnel de type constant.
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KW - convolution equations; exponential-solutions; Liouville number; slowly decreasing in sense of Berenstein-Taylor
UR - http://eudml.org/doc/74500
ER -

## References

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1. [1] E.F. BECKENBACH et M. READE, Mean Values and Harmonic polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 53 (1943), 230-238. Zbl0063.00272MR4,199c
2. [2] C.A. BERENSTEIN et B.A. TAYLOR, Interpolation problems in Cn with applications to Harmonic Analysis, J. Analyse. Math., Vol. 38 (1980). Zbl0464.42003MR82h:32002
3. [3] J. DELSARTE, Note sur une propriété nouvelle des fonctions harmoniques, C.R.A.S., 246 (1958), 1358-1359. Zbl0084.09403MR20 #2548
4. [4] J. DELSARTE, Théorie des fonctions moyenne-périodiques de deux variables, Ann. Math., 72 (1960), 121-178. Zbl0104.33902MR24 #A428
5. [5] L. EHRENPREIS, Fourier Analysis in several complex variables, Tracts in Math., 17, Wiley-Intersc., (1970). Zbl0195.10401MR44 #3066
6. [6] A. FRIEDMAN, Mean Values and polyharmonic polynomials, Michigan Math. Journal, 4 (1957), 67-74. Zbl0077.09804MR18,799b
7. [7] L. GRUMAN, The area of analytic varieties in CN, Math. Scand., 41 (1977). Zbl0376.32008MR57 #16670
8. [8] D.I. GUREVICH, Counterexamples to a problem of L. Schwartz, Funct. Analysis and its applications (traduit du russe). Russian original, Vol. 9, n° 2, 1975, traduction anglaise, 93-182, 1975, p. 116-120. Zbl0326.46020
9. [9] S. HANSEN, Uniqueness of the Cauchy problem for convolution operators, J. reine angew. Math., 317 (1980). Zbl0423.35006MR82b:35001
10. [10] E. KREGELIUS-PETERSEN et G.H. MEIRSTERS, Non Liouville Numbers and a theorem of Hörmander, Journal of Functional Analysis, 29 (1978), 142-150. Zbl0401.46023
11. [11] S. LANG, Introduction to Diophantine Approximations, Addison-Wesley Publ. Co., 1966. Zbl0144.04005MR35 #129
12. [12] Y. MEYER, Remarques sur un théorème de J. Delsarte, Ann. Inst. Fourier, 26, 2 (1976), 133-152. Zbl0318.42028MR54 #5735
13. [13] Y. MEYER, Algebraic Numbers and Harmonic Analysis, North-Holland Publ. Co. 1972. Zbl0267.43001MR58 #5579
14. [14] M. OKADA, Une estimation modifiée du type de Bezout pour les applications holomorphes équidimensionnelles entières de Cn, C.R.A.S., Paris, t 291, Série A (7 juillet 1980). Zbl0448.32002MR82c:32025
15. [15] R.D. RICHTMYER, On the structure of some distributions discovered by Meirsters, Journal of functional Analysis, 9 (1972), 336-348. Zbl0236.46041MR45 #5752
16. [16] F. RIESZ et B. SZ. NAGY, Leçons d'Analyse fonctionnelle, 6e édition, Gauthier-Villars, Paris 1972.
17. [17] H. SKODA, Application des techniques L2 à la théorie des idéaux d'une algèbre de fonctions holomorphes avec poids, Ann. scient. ec. Norm. sup., 4e série, 5, n° 4 (1972), 545-579. Zbl0254.32017MR48 #11571
18. [18] B.A. TAYLOR et J.J. KELLEHER, Finitely generated ideals in rings of analytic fonctions, Math. Ann., 193 (1971), 225-237. Zbl0207.12906MR46 #2077
19. [19] J.L. WALSH, A mean Value theorem for polynomials and Harmonic polynomials, Bull. Amer. Math. Soc., 42 (1936), 923-930. Zbl0016.12302JFM62.1222.02
20. [20] A. YGER, Une généralisation d'un théorème de J. Delsarte, C.R.A.S., Paris, 288, série A (1979), 497. Zbl0402.46027MR80d:46073
21. [21] A. YGER, Fonctions définies dans le plan et moyennes en tout point de leurs valeurs aux sommets de deux carrés, C.R.A.S., Paris, 288, série A (1979), 535. Zbl0398.46034MR80c:46049
22. [22] A. YGER, Propriétés de certains systèmes d'équations de convolution dans R2, C.R.A.S., Paris, 289, série A (1979), 169. Zbl0415.46036MR81c:46036
23. [23] A. YGER, Fonctions moyenne périodiques de deux variables ; étude des systèmes d'équations de convolution envisagés par J. Delsarte, Séminaire d'Analyse Harmonique, Orsay, 1976-1977.

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